Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
a. f(x, y, z) = x * z * e^(-x * z * y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar que, ao derivar parcialmente em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Aqui, tanto quanto dependem de , então precisamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de é .
Então, considerando e :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a : (usando a regra da cadeia)
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Na função , apenas o termo depende de . Então, tratamos como constante.
Usamos a regra da cadeia para derivar em relação a :
Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Novamente, usamos a regra do produto, pois tanto quanto dependem de .
Considerando e :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a : (usando a regra da cadeia)
Aplicando a regra do produto:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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