Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar que, ao derivar parcialmente em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Aqui, tanto
quanto
dependem de
, então precisamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de
é
.
Então, considerando
e
:
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : (usando a regra da cadeia)
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Na função
, apenas o termo
depende de
. Então, tratamos
como constante.
Usamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Novamente, usamos a regra do produto, pois tanto
quanto
dependem de
.
Considerando
e
:
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : (usando a regra da cadeia)
Aplicando a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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Questão 2 [2,5 pontos] Determine se a seguinte função
é contínua no ponto
.
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f.
f.
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(b)
(b)
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
c.
c.