Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
c.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a cada uma das variáveis , e , uma de cada vez, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos tratar e como constantes.
A função é o produto de duas funções de : e . Usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Calculando as derivadas individuais:
  • Derivada de em relação a :
    Aqui, usamos a regra da cadeia, derivando o expoente em relação a , que dá .
  • Derivada de em relação a :
    Aplicamos a regra da cadeia novamente, derivando o argumento interno .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
A função é novamente um produto de e . Porém, não depende de , então sua derivada em relação a será zero.

Passo 6

Calculando a derivada:
Como a segunda derivada é zero:

Passo 7

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Observamos que a função não depende da variável , então sua derivada em relação a será zero.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem de são:

Exercícios relacionados

Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(b)
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
a.
É verdadeiro ou falso?
Existe uma série de potências cujo intervalo de convergência é .
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
d.