Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
c. phi(x, y, t) = e^(-xy) cos(pi/2 x)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a cada uma das variáveis , e , uma de cada vez, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos tratar e como constantes.
A função é o produto de duas funções de : e . Usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Calculando as derivadas individuais:
  • Derivada de em relação a :
    Aqui, usamos a regra da cadeia, derivando o expoente em relação a , que dá .
  • Derivada de em relação a :
    Aplicamos a regra da cadeia novamente, derivando o argumento interno .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
A função é novamente um produto de e . Porém, não depende de , então sua derivada em relação a será zero.

Passo 6

Calculando a derivada:
Como a segunda derivada é zero:

Passo 7

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Observamos que a função não depende da variável , então sua derivada em relação a será zero.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem de são:

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