Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
c.
c.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a cada uma das variáveis
,
e
, uma de cada vez, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos tratar
e
como constantes.
A função
é o produto de duas funções de
:
e
. Usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Calculando as derivadas individuais:
-
Derivada de
em relação a : Aqui, usamos a regra da cadeia, derivando o expoenteem relação a , que dá . -
Derivada de
em relação a : Aplicamos a regra da cadeia novamente, derivando o argumento interno.
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
A função
é novamente um produto de
e
. Porém,
não depende de
, então sua derivada em relação a
será zero.
Passo 6
Calculando a derivada:
Como a segunda derivada é zero:
Passo 7
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Observamos que a função
não depende da variável
, então sua derivada em relação a
será zero.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem de
são:
Exercícios relacionados
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(b)
(b)
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
a.
a.
É verdadeiro ou falso?
Existe uma série de potências cujo intervalo de convergência é
.
Existe uma série de potências
Questão 5 [3,0 pontos] Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
d.
d.