Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
usando a regra da cadeia. Isso envolve entender derivadas parciais, quociente de funções e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como diferenciar funções que são frações e como aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente vai chamar de
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas que aparecem no numerador:
-
(já que é constante) -
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
, seguindo o mesmo processo. Usando a regra do quociente:
Passo 6
Calculando as derivadas no numerador:
-
(já que é constante) -
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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Mostre que
é solução da equação diferencial
.