Usando a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função usando a regra da cadeia. Isso envolve entender derivadas parciais, quociente de funções e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como diferenciar funções que são frações e como aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente vai chamar de . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas que aparecem no numerador:
  1. (já que é constante)
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , , seguindo o mesmo processo. Usando a regra do quociente:

Passo 6

Calculando as derivadas no numerador:
  1. (já que é constante)
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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