Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação. 13 x^2+6 x y+21 y^2+34 x-114 y+73=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação quadrática com termos em e misturados, tipo . Nosso objetivo aqui é simplificar essa equação, tirando o termo através de uma rotação e, se precisar, também fazer uma translação (mudança de coordenadas). Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo que está complicando as coisas: é o . Esse termo indica que os eixos da parábola, elipse ou hipérbole (dependendo do caso) não estão alinhados com os eixos e tradicionais. Para simplificar, queremos girar o sistema de coordenadas de modo que esse termo desapareça.

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , precisamos encontrar o ângulo de rotação que vai alinhar os eixos da nossa figura com os novos eixos rotacionados. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Onde , e são os coeficientes da equação geral . No nosso caso, , e .

Passo 4

Vamos calcular tan(2theta) = 613 - 21 = 6-8 = -34 :
2theta = arctan(-34)
Agora, para encontrar theta = 12 arctan(-34) , tiramos o arco-tangente de :

Passo 5

Calculando o valor numérico de theta approx 12 times (-0,6435) approx -0,3218 radianos :
theta approx -0,3218 times 180pi approx -18,43^circ
Convertendo para graus:
Isso significa que precisamos girar o sistema de coordenadas aproximadamente no sentido horário para eliminar o termo .

Passo 6

Com o ângulo de rotação encontrado, aplicamos a transformação de coordenadas:
x = x'costheta - y'sintheta
y = x'sintheta + y'costheta
Substituímos e na equação original e simplificamos para obter a forma mais simples da equação, que não terá mais o termo .

Resposta

Após a rotação de aproximadamente no sentido horário, a equação reduzida à forma mais simples é obtida sem o termo , alinhando os eixos com a figura geométrica representada.

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