Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação quadrática com termos em
e
misturados, tipo
. Nosso objetivo aqui é simplificar essa equação, tirando o termo
através de uma rotação e, se precisar, também fazer uma translação (mudança de coordenadas). Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo que está complicando as coisas: é o
. Esse termo indica que os eixos da parábola, elipse ou hipérbole (dependendo do caso) não estão alinhados com os eixos
e
tradicionais. Para simplificar, queremos girar o sistema de coordenadas de modo que esse termo desapareça.
Passo 3
Para eliminar o termo
, precisamos encontrar o ângulo de rotação
que vai alinhar os eixos da nossa figura com os novos eixos rotacionados. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Onde
,
e
são os coeficientes da equação geral
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, para encontrar
, tiramos o arco-tangente de
:
Passo 5
Calculando o valor numérico de
:
Convertendo para graus:
Isso significa que precisamos girar o sistema de coordenadas aproximadamente
no sentido horário para eliminar o termo
.
Passo 6
Com o ângulo de rotação encontrado, aplicamos a transformação de coordenadas:
Substituímos
e
na equação original e simplificamos para obter a forma mais simples da equação, que não terá mais o termo
.
Resposta
Após a rotação de aproximadamente
no sentido horário, a equação reduzida à forma mais simples é obtida sem o termo
, alinhando os eixos com a figura geométrica representada.