Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, se , então a seguinte desigualdade vale:
Esse exercício está ligado ao estudo de números complexos e propriedades de módulos (ou valores absolutos) de frações envolvendo complexos. Para resolver, vamos precisar entender como manipular módulos de quocientes e somas de números complexos usando desigualdades básicas, como a Desigualdade do Triângulo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para qualquer número complexo , o módulo representa a distância de à origem no plano complexo. Uma propriedade importante é que:
desde que . No nosso caso, queremos aplicar isso à expressão , desde que . Mas, dado que , temos que , então podemos usar essa propriedade.
Passo 3
Aplicando a propriedade mencionada:
Agora, precisamos encontrar um limite superior para .
Passo 4
Sabemos pela Desigualdade do Triângulo que:
Isso significa que a soma dos módulos é no mínimo igual à diferença dos módulos dos termos.
Passo 5
Substituindo essa desigualdade na nossa expressão:
Ou seja:
E assim, mostramos a desigualdade que queríamos provar.