Mostre que, se , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, se , então a seguinte desigualdade vale:
Esse exercício está ligado ao estudo de números complexos e propriedades de módulos (ou valores absolutos) de frações envolvendo complexos. Para resolver, vamos precisar entender como manipular módulos de quocientes e somas de números complexos usando desigualdades básicas, como a Desigualdade do Triângulo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para qualquer número complexo , o módulo representa a distância de à origem no plano complexo. Uma propriedade importante é que:
desde que . No nosso caso, queremos aplicar isso à expressão , desde que . Mas, dado que , temos que , então podemos usar essa propriedade.

Passo 3

Aplicando a propriedade mencionada:
Agora, precisamos encontrar um limite superior para .

Passo 4

Sabemos pela Desigualdade do Triângulo que:
Isso significa que a soma dos módulos é no mínimo igual à diferença dos módulos dos termos.

Passo 5

Substituindo essa desigualdade na nossa expressão:
Ou seja:
E assim, mostramos a desigualdade que queríamos provar.

Resposta

A desigualdade está comprovada:

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Determine os valores inteiros de e que satisfazem a equação .
Escreva o domínio máximo das seguintes funções como união de intervalos:
g)
Resolva as equações:
Resolva as equações: