Prove que a multiplicação é uma operação em Zm ^*, se e somente se, m é primo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que a multiplicação é uma operação em se e somente se é primo. Aqui, representa o conjunto dos números inteiros entre 1 e que são relativamente primos com , ou seja, que não têm nenhum divisor comum com além de 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Multiplicação em : Significa que, quando multiplicamos dois elementos de , o resultado também pertence a .
  2. Número Primo: Um número é primo se ele tiver exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo.
Vamos dividir a prova em duas partes:
  • Parte 1: Se é primo, então a multiplicação é uma operação em .
  • Parte 2: Se a multiplicação é uma operação em , então é primo.

Passo 2

Parte 1: Se é primo, então a multiplicação é uma operação em .
Imagine que é um número primo. Nesse caso, todos os números de 1 até são relativamente primos com , porque não tem divisores além de 1 e ele mesmo. Portanto, .
Agora, vamos ver se a multiplicação de quaisquer dois elementos e em também está em .
Como e são relativamente primos com , o produto também será relativamente primo com . Isso ocorre porque se algum número dividisse tanto quanto , ele teria que dividir ou , o que não é possível já que e .
Portanto, , o que mostra que a multiplicação é uma operação fechada em quando é primo.

Passo 3

Parte 2: Se a multiplicação é uma operação em , então é primo.
Agora, vamos supor que a multiplicação seja uma operação fechada em , ou seja, para quaisquer , temos . Queremos mostrar que isso implica que é primo.
Suponha, por contradição, que não seja primo. Então, é composto, ou seja, tem pelo menos um divisor tal que .
Vamos considerar o elemento em . Como divide , temos , o que significa que não está em .
No entanto, se a multiplicação é fechada em , então o produto de quaisquer dois elementos de também deveria estar em . Mas, como é composto, existem elementos em cujo produto é igual a , que não está em , o que causa uma contradição.
Portanto, nossa suposição de que não é primo está errada. Logo, deve ser primo.

Resposta

Assim, provamos que a multiplicação é uma operação em se e somente se é primo.

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