Prove que a multiplicação é uma operação em
, se e somente se,
é primo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que a multiplicação é uma operação em
se e somente se
é primo. Aqui,
representa o conjunto dos números inteiros entre 1 e
que são relativamente primos com
, ou seja, que não têm nenhum divisor comum com
além de 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
- Multiplicação em
: Significa que, quando multiplicamos dois elementos de , o resultado também pertence a . - Número Primo: Um número
é primo se ele tiver exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo.
Vamos dividir a prova em duas partes:
- Parte 1: Se
é primo, então a multiplicação é uma operação em . - Parte 2: Se a multiplicação é uma operação em
, então é primo.
Passo 2
Parte 1: Se
é primo, então a multiplicação é uma operação em
.
Imagine que
é um número primo. Nesse caso, todos os números de 1 até
são relativamente primos com
, porque
não tem divisores além de 1 e ele mesmo. Portanto,
.
Agora, vamos ver se a multiplicação de quaisquer dois elementos
e
em
também está em
.
Como
e
são relativamente primos com
, o produto
também será relativamente primo com
. Isso ocorre porque se algum número dividisse tanto
quanto
, ele teria que dividir
ou
, o que não é possível já que
e
.
Portanto,
, o que mostra que a multiplicação é uma operação fechada em
quando
é primo.
Passo 3
Parte 2: Se a multiplicação é uma operação em
, então
é primo.
Agora, vamos supor que a multiplicação seja uma operação fechada em
, ou seja, para quaisquer
, temos
. Queremos mostrar que isso implica que
é primo.
Suponha, por contradição, que
não seja primo. Então,
é composto, ou seja, tem pelo menos um divisor
tal que
.
Vamos considerar o elemento
em
. Como
divide
, temos
, o que significa que
não está em
.
No entanto, se a multiplicação é fechada em
, então o produto de quaisquer dois elementos de
também deveria estar em
. Mas, como
é composto, existem elementos em
cujo produto é igual a
, que não está em
, o que causa uma contradição.
Portanto, nossa suposição de que
não é primo está errada. Logo,
deve ser primo.
Resposta
Assim, provamos que a multiplicação é uma operação em
se e somente se
é primo.
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Seja uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam
. Prove que:
b)
b)
Mostre que
, com m par e maior que 2 , não é um grupo.
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Seja
um grupo e
com
e
. Seja
, arbitrário, prove que:
ii)
ii)