Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
onde
é o tempo e
é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar:
V erificar se há inversão do sentido do movimento. Em caso positivo determinar o instante e a posição em que ocorreria.
Passo 1
Então, vamos lá! O que temos aqui é um problema de cinemática, que estuda o movimento das partículas. A função que descreve a posição da partícula ao longo do tempo é:
Queremos verificar se a partícula inverte o sentido de movimento. Para isso, vamos precisar analisar a velocidade da partícula ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Isso significa que precisamos calcular a derivada da função
para encontrar a velocidade.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada termo da função
:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é 0. - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a função da velocidade fica:
Simplificando:
Passo 4
Para verificar se há inversão do sentido do movimento, precisamos encontrar se a velocidade muda de sinal, ou seja, se ela passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso acontece quando
.
Vamos resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática da forma
, onde:
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas soluções reais:
Calculando:
Então:
Passo 5
Observamos que ambas as soluções para
são negativas (
e
). No contexto do tempo, consideramos apenas valores positivos, já que
é o momento inicial.
Como não há valores positivos de
que satisfazem
, concluímos que a velocidade da partícula não se anula para
. Portanto, a partícula não inverte o sentido de movimento durante o intervalo de tempo considerado.
Resposta
A partícula não inverte o sentido de movimento para
, já que a velocidade nunca se anula nesse intervalo.
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onde
é o tempo e
é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar:
A posição, a velocidade e a aceleração no instante
.