Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
x(t)=50,0+2,00 t+3,00 t^2+0,200 t^3
onde t é o tempo e x é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar: D) V erificar se há inversão do sentido do movimento. Em caso positivo determinar o instante e a posição em que ocorreria.

Passo 1

Então, vamos lá! O que temos aqui é um problema de cinemática, que estuda o movimento das partículas. A função que descreve a posição da partícula ao longo do tempo é:
x(t) = 50,0 + 2,00, t + 3,00, t^2 + 0,200, t^3
Queremos verificar se a partícula inverte o sentido de movimento. Para isso, vamos precisar analisar a velocidade da partícula ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dx(t)dt
Isso significa que precisamos calcular a derivada da função para encontrar a velocidade.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada termo da função x(t) = 50,0 + 2,00, t + 3,00, t^2 + 0,200, t^3 :
v(t) = 0 + 2,00 + 6,00, t + 0,600, t^2
Derivando termo a termo:
  • A derivada de v(t) = 2,00 + 6,00, t + 0,600, t^2 é 0.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, a função da velocidade fica:
Simplificando:

Passo 4

Para verificar se há inversão do sentido do movimento, precisamos encontrar se a velocidade muda de sinal, ou seja, se ela passa de positiva para negativa ou vice-versa. Isso acontece quando 2,00 + 6,00, t + 0,600, t^2 = 0 .
Vamos resolver a equação:
t = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Essa é uma equação quadrática da forma t = -6,00 pm raiz(6,00)^2 - 4 times 0,600 times 2,00 2 times 0,600 , onde:
  • De
  • t = -6,00 pm raiz31,20 1,20
  • raiz31,20 approx 5,59
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
t1 = -6,00 + 5,59 1,20 approx -0,41 1,20 approx -0,34, s
Substituindo os valores:
t2 = -6,00 - 5,59 1,20 approx -11,59 1,20 approx -9,66, s
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas soluções reais:
Calculando:
Então:

Passo 5

Observamos que ambas as soluções para são negativas ( e ). No contexto do tempo, consideramos apenas valores positivos, já que é o momento inicial.
Como não há valores positivos de que satisfazem , concluímos que a velocidade da partícula não se anula para . Portanto, a partícula não inverte o sentido de movimento durante o intervalo de tempo considerado.

Resposta

A partícula não inverte o sentido de movimento para , já que a velocidade nunca se anula nesse intervalo.

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