Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
C) A distância em relação à estação de radar e a direção na qual a aeronave poderia ser avistada no instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de radar que detectou a trajetória de uma aeronave, representada por uma função vetorial . Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas no instante segundos:
  1. A distância da aeronave em relação à estação de radar.
  2. A direção na qual a aeronave pode ser avistada.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de magnitude de vetores e vetores unitários, que nos ajudam a entender a distância e a direção de um ponto no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente. Cada componente da função representa a posição da aeronave nessas direções ao longo do tempo .

Passo 3

Calculando a posição da aeronave no instante segundos:
Vamos substituir na função :
Vamos calcular cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, a posição da aeronave em segundos é:

Passo 4

Calculando a distância da aeronave em relação à estação de radar:
A distância é a magnitude do vetor posição . A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando isso para :
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Observação: Como o termo é muito maior que os outros, a distância é aproximadamente metros.

Passo 5

Determinar a direção na qual a aeronave pode ser avistada:
A direção é dada pelo vetor unitário na direção de . Para encontrar o vetor unitário , usamos:
Substituindo os valores:
Dividindo cada componente pela magnitude:
Simplificando:
Então, o vetor direção é aproximadamente:
Isso significa que a aeronave está quase diretamente acima da estação de radar, com pequenas variações nas direções e .

Resposta

A segundos, a aeronave está a uma distância de aproximadamente metros da estação de radar e pode ser avistada na direção do vetor unitário .

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