Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
r(t)=(1, 0 0 10^-2 t^3+0, 1 0 0 t^2) imath+(0,50.10^-2 t^3+0 , 2 0 0 t^2) jmath+5 , 0 0 1 0 ^ 3 widehat k
C) A distância em relação à estação de radar e a direção na qual a aeronave poderia ser avistada no instante 100,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de radar que detectou a trajetória de uma aeronave, representada por uma função vetorial . Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas no instante segundos:
  1. A distância da aeronave em relação à estação de radar.
  2. A direção na qual a aeronave pode ser avistada.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de magnitude de vetores e vetores unitários, que nos ajudam a entender a distância e a direção de um ponto no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
r(t) = (1.00 times 10^-2 t^3 + 0.100 t^2) imath + (0.50 times 10^-2 t^3 + 0.200 t^2) jmath + 500.10^3 k
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente. Cada componente da função representa a posição da aeronave nessas direções ao longo do tempo .

Passo 3

Calculando a posição da aeronave no instante r(100) = (1.00 times 10^-2 times 100^3 + 0.100 times 100^2) imath + (0.50 times 10^-2 times 100^3 + 0.200 times 100^2) jmath + 500.10^3 k segundos:
Vamos substituir 1.00 times 10^-2 times 100^3 = 1.00 times 10^-2 times 1 times 10^6 = 1.00 times 10^4 , m na função 0.100 times 100^2 = 0.100 times 10^4 = 1.00 times 10^3 , m :
x = 1.00 times 10^4 + 1.00 times 10^3 = 1.10 times 10^4 , m
Vamos calcular cada componente:
  • Componente 0.50 times 10^-2 times 100^3 = 0.50 times 10^-2 times 1 times 10^6 = 5.00 times 10^3 , m :
0.200 times 100^2 = 0.200 times 10^4 = 2.00 times 10^3 , m
y = 5.00 times 10^3 + 2.00 times 10^3 = 7.00 times 10^3 , m
z = 500.10^3 = 5.00 times 10^5 , m
  • Componente r(100) = 1.10 times 10^4 imath + 7.00 times 10^3 jmath + 5.00 times 10^5 k , m :
  • Componente :
Então, a posição da aeronave em segundos é:

Passo 4

Calculando a distância da aeronave em relação à estação de radar:
A distância é a magnitude do vetor posição |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 . A fórmula para a magnitude de um vetor |r(100)| = raiz(1.10 times 10^4)^2 + (7.00 times 10^3)^2 + (5.00 times 10^5)^2 é:
(1.10 times 10^4)^2 = 1.21 times 10^8
Aplicando isso para (7.00 times 10^3)^2 = 4.90 times 10^7 :
(5.00 times 10^5)^2 = 2.50 times 10^11
Vamos calcular cada termo:
|r(100)| = raiz1.21 times 10^8 + 4.90 times 10^7 + 2.50 times 10^11 = raiz2.500000 + 0.121000 + 0.049000 times 10^11 approx 5.00 times 10^5 , m
Somando tudo:
Observação: Como o termo é muito maior que os outros, a distância é aproximadamente metros.

Passo 5

Determinar a direção na qual a aeronave pode ser avistada:
A direção é dada pelo vetor unitário na direção de u = r(100)|r(100)| . Para encontrar o vetor unitário u = 1.10 times 10^4 imath + 7.00 times 10^3 jmath + 5.00 times 10^5 k5.00 times 10^5 , usamos:
u = (1.10 times 10^45.00 times 10^5) imath + (7.00 times 10^35.00 times 10^5) jmath + (5.00 times 10^55.00 times 10^5) k
Substituindo os valores:
u = 0.022 imath + 0.014 jmath + 1.000 k
Dividindo cada componente pela magnitude:
u = 0.022 imath + 0.014 jmath + k
Simplificando:
Então, o vetor direção é aproximadamente:
Isso significa que a aeronave está quase diretamente acima da estação de radar, com pequenas variações nas direções e .

Resposta

A segundos, a aeronave está a uma distância de aproximadamente metros da estação de radar e pode ser avistada na direção do vetor unitário .

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