Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
C) A distância em relação à estação de radar e a direção na qual a aeronave poderia ser avistada no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de radar que detectou a trajetória de uma aeronave, representada por uma função vetorial
. Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas no instante
segundos:
- A distância da aeronave em relação à estação de radar.
- A direção na qual a aeronave pode ser avistada.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de magnitude de vetores e vetores unitários, que nos ajudam a entender a distância e a direção de um ponto no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções
,
e
, respectivamente. Cada componente da função representa a posição da aeronave nessas direções ao longo do tempo
.
Passo 3
Calculando a posição da aeronave no instante
segundos:
Vamos substituir
na função
:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, a posição da aeronave em
segundos é:
Passo 4
Calculando a distância da aeronave em relação à estação de radar:
A distância é a magnitude do vetor posição
. A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando isso para
:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Observação: Como o termo
é muito maior que os outros, a distância é aproximadamente
metros.
Passo 5
Determinar a direção na qual a aeronave pode ser avistada:
A direção é dada pelo vetor unitário na direção de
. Para encontrar o vetor unitário
, usamos:
Substituindo os valores:
Dividindo cada componente pela magnitude:
Simplificando:
Então, o vetor direção é aproximadamente:
Isso significa que a aeronave está quase diretamente acima da estação de radar, com pequenas variações nas direções
e
.
Resposta
A
segundos, a aeronave está a uma distância de aproximadamente
metros da estação de radar e pode ser avistada na direção do vetor unitário
.
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