Uma moto e seu piloto atingem uma velocidade de 90,0 km / h ao final de uma rampa, inclinada em 300 em relação à horizontal e uma altura de 10,00 m em relação ao solo. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2. Determinar: C) O tempo para retornar ao nível de lançamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma moto e o piloto que saem de uma rampa inclinada de 30 graus, com uma velocidade inicial de e uma altura de em relação ao solo. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo leva para eles voltarem ao nível de lançamento, ou seja, ao mesmo nível de onde começaram. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Movimento Projetil da Física, especificamente as equações que descrevem o movimento vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de quilômetros por hora para metros por segundo, porque as unidades do SI vão facilitar nossos cálculos. A fórmula para converter é:
v = 90,0 , km/h times 1000 , m3600 , s = 25,0 , m/s

Passo 3

Agora, precisamos separar a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical. Sabemos que a rampa está inclinada em vy0 = v times sin(theta) = 25,0 , m/s times sin(30^circ) = 25,0 times 0,5 = 12,5 , m/s , então usamos funções trigonométricas:
vx0 = v times cos(theta) = 25,0 , m/s times cos(30^circ) approx 25,0 times 0,866 = 21,65 , m/s
Mas para esse problema, vamos focar na direção vertical.

Passo 4

Vamos usar a equação do movimento vertical para determinar o tempo total de voo. A equação que relaciona a posição, velocidade e aceleração é:
y = y0 + vy0 t - 12 g t^2
Onde:
  • é a posição final (neste caso, queremos que seja , que é o nível de lançamento),
  • é a altura inicial,
  • é a velocidade inicial na vertical,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o tempo que queremos encontrar.

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
0 = 10,00 + 12,5 t - 12 times 9,80 times t^2
Simplificando:
0 = 10,00 + 12,5 t - 4,9 t^2
Reorganizando:
4,9 t^2 - 12,5 t - 10,00 = 0

Passo 6

Agora, temos uma equação do segundo grau na forma t = -b pm raizb^2 - 4ac2a , onde:
  • De,
  • t = 12,5 pm raiz352,259,8 = 12,5 pm 18,779,8 ,
  • .
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
Calculando o discriminante:
Então:

Passo 7

Obtendo as duas soluções:
t1 = 12,5 + 18,779,8 approx 31,279,8 approx 3,19 , s
t2 = 12,5 - 18,779,8 approx -6,279,8 approx -0,64 , s
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos .

Resposta

O tempo para retornar ao nível de lançamento é aproximadamente .

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