Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
r(t)=(1, 0 0 10^-2 t^3+0, 1 0 0 t^2) imath+(0,50.10^-2 t^3+0 , 2 0 0 t^2) jmath+5 , 0 0 1 0 ^ 3 widehat k
A) As funções horárias da velocidade e da aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a trajetória de uma aeronave detectada por um radar, representada por uma função vetorial em relação ao tempo . Nosso objetivo aqui é encontrar as funções horárias da velocidade e da aceleração dessa aeronave. Para isso, vamos utilizar o conceito de cálculo vetorial, especificamente a derivação de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função posição r(t) = (1 times 10^-2 t^3 + 0 times t^2) imath + (0.50 times 10^-2 t^3 + 0.200 times t^2) jmath + 500.10^3 k dada no problema. A função posição geralmente é expressa em termos das componentes nos eixos r(t) = (0.01 t^3) imath + (0.005 t^3 + 0.200 t^2) jmath + 500000 k , e . Pelo enunciado, a função posição está escrita da seguinte forma:
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade v(t) = dr(t)dt , precisamos derivar a função posição ddt(0.01 t^3) = 0.03 t^2 em relação ao tempo ddt(0.005 t^3 + 0.200 t^2) = 0.015 t^2 + 0.400 t . A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade:
ddt(500000) = 0
Vamos calcular a derivada de cada componente:
  • Para v(t) = (0.03 t^2) imath + (0.015 t^2 + 0.400 t) jmath + 0 k :
  • Para :
  • Para :
Então, a função velocidade fica:

Passo 4

Seguimos agora para encontrar a aceleração a(t) = dv(t)dt . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
ddt(0.03 t^2) = 0.06 t
Vamos derivar cada componente da velocidade:
  • Para ddt(0.015 t^2 + 0.400 t) = 0.030 t + 0.400 :
    ddt(0) = 0
  • Para a(t) = (0.06 t) imath + (0.030 t + 0.400) jmath + 0 k :
  • Para :
Portanto, a função aceleração é:

Resposta

As funções horárias da velocidade e da aceleração da aeronave são:
v(t) = 0.03,t^2 , imath + (0.015,t^2 + 0.400,t) , jmath
e
a(t) = 0.06,t , imath + (0.030,t + 0.400) , jmath

Exercícios relacionados