Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
A) As funções horárias da velocidade e da aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a trajetória de uma aeronave detectada por um radar, representada por uma função vetorial
em relação ao tempo
. Nosso objetivo aqui é encontrar as funções horárias da velocidade e da aceleração dessa aeronave. Para isso, vamos utilizar o conceito de cálculo vetorial, especificamente a derivação de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função posição
dada no problema. A função posição geralmente é expressa em termos das componentes nos eixos
,
e
. Pelo enunciado, a função posição está escrita da seguinte forma:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade
, precisamos derivar a função posição
em relação ao tempo
. A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade:
Vamos calcular a derivada de cada componente:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, a função velocidade fica:
Passo 4
Seguimos agora para encontrar a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente da velocidade:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Portanto, a função aceleração é:
Resposta
As funções horárias da velocidade e da aceleração da aeronave são:
e