Uma moto e seu piloto atingem uma velocidade de 90,0 km / h ao final de uma rampa, inclinada em 300 em relação à horizontal e uma altura de 10,00 m em relação ao solo. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2. Determinar: E) O alcance do lançamento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma moto e seu piloto que estão descendo uma rampa inclinada de 30 graus e alcançam uma velocidade de 90,0 km/h ao final dessa rampa. A rampa está a uma altura de 10,00 metros em relação ao solo. O conteúdo que vamos usar aqui envolve movimento de projéteis, onde vamos calcular o alcance do lançamento (ou seja, quão longe a moto vai viajar antes de tocar o chão). Para resolver isso, vamos precisar converter as unidades de velocidade, decompor a velocidade em componentes horizontal e vertical, calcular o tempo de voo e, por fim, determinar o alcance.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de 90,0 km/h para metros por segundo (m/s), pois isso facilita os cálculos na física. Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s approx 0,27778 , m/s
Então,
90,0 , km/h times 0,27778 , m/s por km/h approx 25,0 , m/s

Passo 3

Agora que temos a velocidade em m/s, vamos decompor essa velocidade nas componentes horizontal ( vx = v cdot cos(theta) ) e vertical ( vy = v cdot sin(theta) ). A inclinação da rampa é de 30 graus, então usamos funções trigonométricas:
vx = 25,0 , m/s times cos(30^circ) approx 25,0 times 0,8660 approx 21,65 , m/s
vy = 25,0 , m/s times sin(30^circ) approx 25,0 times 0,5 approx 12,5 , m/s
Onde e .
Calculando:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o tempo total que a moto ficará no ar antes de tocar o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical considerando que a posição final é 0 (no solo) e a posição inicial é a altura da rampa ( y(t) = y0 + vy t - 12 g t^2 ):
0 = 10,00 + 12,5 t - 12 times 9,80 times t^2
Como 0 = 10,00 + 12,5 t - 4,9 t^2 no solo:
Isso é uma equação quadrática na forma , onde:
,
,
.

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo t = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a . A fórmula de Bhaskara é:
t = -12,5 pm raiz(12,5)^2 - 4 times (-4,9) times 10,002 times (-4,9)
Substituindo os valores:
t = -12,5 pm raiz156,25 + 196-9,8
t = -12,5 pm raiz352,25-9,8
raiz352,25 = 18,77
t = -12,5 pm 18,77-9,8
t = -12,5 + 18,77-9,8 = 6,27-9,8 approx -0,64 , s
Vamos considerar apenas a solução positiva para o tempo:
t = -12,5 - 18,77-9,8 = -31,27-9,8 approx 3,19 , s
Como o tempo não pode ser negativo, usamos a outra solução:

Passo 6

Agora que temos o tempo de voo ( R = vx times t ), vamos calcular o alcance R = 21,65 , m/s times 3,19 , s approx 69,0 , m usando a componente horizontal da velocidade:

Resposta

O alcance do lançamento é aproximadamente 69,0 metros.

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