Uma moto e seu piloto atingem uma velocidade de ao final de uma rampa, inclinada em 300 em relação à horizontal e uma altura de relação ao solo. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de . Determinar: O alcance do lançamento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma moto e seu piloto que estão descendo uma rampa inclinada de 30 graus e alcançam uma velocidade de 90,0 km/h ao final dessa rampa. A rampa está a uma altura de 10,00 metros em relação ao solo. O conteúdo que vamos usar aqui envolve movimento de projéteis, onde vamos calcular o alcance do lançamento (ou seja, quão longe a moto vai viajar antes de tocar o chão). Para resolver isso, vamos precisar converter as unidades de velocidade, decompor a velocidade em componentes horizontal e vertical, calcular o tempo de voo e, por fim, determinar o alcance.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de 90,0 km/h para metros por segundo (m/s), pois isso facilita os cálculos na física. Sabemos que:
Então,

Passo 3

Agora que temos a velocidade em m/s, vamos decompor essa velocidade nas componentes horizontal ( ) e vertical ( ). A inclinação da rampa é de 30 graus, então usamos funções trigonométricas:
Onde e .
Calculando:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o tempo total que a moto ficará no ar antes de tocar o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical considerando que a posição final é 0 (no solo) e a posição inicial é a altura da rampa ( ):
Como no solo:
Isso é uma equação quadrática na forma , onde:
,
,
.

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo . A fórmula de Bhaskara é:
Substituindo os valores:
Vamos considerar apenas a solução positiva para o tempo:
Como o tempo não pode ser negativo, usamos a outra solução:

Passo 6

Agora que temos o tempo de voo ( ), vamos calcular o alcance usando a componente horizontal da velocidade:

Resposta

O alcance do lançamento é aproximadamente 69,0 metros.

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