Para uma partícula em movimento unidimensional a aceleração como função do tempo é dada por:
a(t)=0, 3 0 0 t+0 , 1 0 0
Em unidades do Sistema Internacional.
No instante em que se inicia o estudo do movimento a velocidade da partícula tinha módulo de 4,00 m / s, o movimento ocorria no sentido contrário ao do eixo de coordenadas e a partícula encontrava-se na posição de coordenada -100,0 m.
B) Verificar se há inversão do sentido do movimento. Em caso positivo determinar o instante e a posição em que ocorreria.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo em uma única dimensão, e a aceleração dela varia com o tempo de acordo com a função:
a(t) = 0,300,t + 0,100 m/s^2
No instante inicial (quando começamos a observar o movimento), a partícula tinha uma velocidade de -4,00,m/s (no sentido contrário ao eixo de coordenadas) e estava na posição -100,0,m. O que precisamos fazer é verificar se a partícula inverte o sentido do movimento em algum momento e, se sim, descobrir quando isso acontece e em que posição.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre aceleração, velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão da velocidade da partícula em função do tempo. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Portanto, para encontrar a velocidade, precisamos integrar a função de aceleração:
v(t) = integral a(t),dt = integral (0,300,t + 0,100),dt
Fazendo a integração, temos:
v(t) = 0,150,t^2 + 0,100,t + C
Onde C é a constante de integração. Para encontrar C, usamos a condição inicial da velocidade. No instante inicial ( t = 0), a velocidade v(0) = -4,00,m/s.
Substituindo na equação:
-4,00 = 0,150 times 0^2 + 0,100 times 0 + C Rightarrow C = -4,00,m/s
Portanto, a expressão da velocidade em função do tempo é:
v(t) = 0,150,t^2 + 0,100,t - 4,00,m/s

Passo 3

Para verificar se ocorre uma inversão no sentido do movimento, precisamos encontrar o instante em que a velocidade da partícula muda de sinal, ou seja, quando v(t) = 0.
Vamos resolver a equação:
0,150,t^2 + 0,100,t - 4,00 = 0
Essa é uma equação quadrática da forma at^2 + bt + c = 0, onde:
  • a = 0,150
  • b = 0,100
  • c = -4,00
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando o discriminante ( De):
De
Como De 0, teremos duas soluções reais. Calculando:
t = -0,100 pm raiz2,41002 times 0,150 = -0,100 pm 1,5520,300
As duas soluções s��o:
  1. t = -0,100 + 1,5520,300 = 1,4520,300 = 4,84,s
  2. t = -0,100 - 1,5520,300 = -1,6520,300 approx -5,51,s
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a segunda solução. Portanto, a inversão de sentido ocorre em t = 4,84,s.

Passo 4

Agora que sabemos o instante em que ocorre a inversão do movimento, vamos encontrar a posição da partícula nesse momento. Para isso, precisamos obter a expressão da posição em função do tempo.
Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
x(t) = integral v(t),dt = integral (0,150,t^2 + 0,100,t - 4,00),dt
Integrando, temos:
x(t) = 0,050,t^3 + 0,050,t^2 - 4,00,t + D
Onde D é a constante de integração. Usamos a condição inicial da posição para encontrar D. No instante inicial ( t = 0), a posição x(0) = -100,0,m.
Substituindo na equação:
-100,0 = 0,050 times 0^3 + 0,050 times 0^2 - 4,00 times 0 + D Rightarrow D = -100,0,m
Portanto, a expressão da posição em função do tempo é:
x(t) = 0,050,t^3 + 0,050,t^2 - 4,00,t - 100,0,m
Agora, substituímos t = 4,84,s na equação para encontrar a posição:
x(4,84) = 0,050 times (4,84)^3 + 0,050 times (4,84)^2 - 4,00 times 4,84 - 100,0
Calculando cada termo:
  • 0,050 times (4,84)^3 approx 0,050 times 113,537 approx 5,677,m
  • 0,050 times (4,84)^2 approx 0,050 times 23,4256 approx 1,171,m
  • -4,00 times 4,84 approx -19,36,m
Somando todos os termos:
x(4,84) approx 5,677 + 1,171 - 19,36 - 100,0 = -112,512,m

Resposta

Sim, a part��cula inverte o sentido do movimento. Isso ocorre no instante de 4,84,s, quando a posição da partícula é -112,51,m.

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