Seja r(t) o vetor
r(t)=x(t) i+y(t) j=(5 t^2) i+(8 t) j
Calcule a distância |r(t)| em que a partícula se encontra em relação a posição inicial (t=0 s) quando t=2 s ^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um vetor posição que descreve onde a partícula está em função do tempo . O que queremos é descobrir qual a distância da partícula em relação à posição inicial (quando ) no instante em que segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetor posição e como calcular a magnitude (distância) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a posição inicial da partícula é quando r(0) = 5(0)^2i + 8(0)j = 0i + 0j = 0 . Substituindo na expressão do vetor posição:
Então, a posição inicial é a origem do sistema de coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição da partícula no tempo r(2) = 5(2)^2i + 8(2)j = 5(4)i + 16j = 20i + 16j segundos. Substituindo na expressão de :
Então, a posição da partícula em segundos é .

Passo 4

Para encontrar a distância da partícula em relação à posição inicial, precisamos calcular a magnitude do vetor posição em |v| = raiza^2 + b^2 . A magnitude de um vetor |r(2)| = raiz20^2 + 16^2 = raiz400 + 256 = raiz656 é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor :

Passo 5

Vamos simplificar a raiz quadrada de 656 para obter um valor numérico mais claro:
raiz656 approx 25,61
Portanto, a distância da partícula em relação à posição inicial quando segundos é aproximadamente 25,61 unidades de medida (por exemplo, metros, se essa for a unidade usada no problema).

Resposta

A distância da partícula em relação à posição inicial quando segundos é aproximadamente unidades.

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