Seja r(t) o vetor
r(t)=x(t) i+y(t) j=(5 t^2) i+(8 t) j
Calcule a distância |r(t)| em que a partícula se encontra em relação a posição inicial (t=0 s) quando t=2 s ^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um vetor posição que descreve onde a partícula está em função do tempo . O que queremos é descobrir qual a distância da partícula em relação à posição inicial (quando ) no instante em que segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetor posição e como calcular a magnitude (distância) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a posição inicial da partícula é quando r(0) = 5(0)^2i + 8(0)j = 0i + 0j = 0 . Substituindo na expressão do vetor posição:
Então, a posição inicial é a origem do sistema de coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição da partícula no tempo r(2) = 5(2)^2i + 8(2)j = 5(4)i + 16j = 20i + 16j segundos. Substituindo na expressão de :
Então, a posição da partícula em segundos é .

Passo 4

Para encontrar a distância da partícula em relação à posição inicial, precisamos calcular a magnitude do vetor posição em |v| = raiza^2 + b^2 . A magnitude de um vetor |r(2)| = raiz20^2 + 16^2 = raiz400 + 256 = raiz656 é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor :

Passo 5

Vamos simplificar a raiz quadrada de 656 para obter um valor numérico mais claro:
raiz656 approx 25,61
Portanto, a distância da partícula em relação à posição inicial quando segundos é aproximadamente 25,61 unidades de medida (por exemplo, metros, se essa for a unidade usada no problema).

Resposta

A distância da partícula em relação à posição inicial quando segundos é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Seja x(t) uma função que dá a posição de uma partícula ao longo do tempo. A função é dada por x(t)=(t+k)^3, onde k é uma constante real. ^1 Calcule a velocidade instantânea dessa partícula usando a definição dada abaixo:
d x(t)d t=lim De
Uma motocicleta e um carro partem do repouso no instante t=0 em uma mesma posição inicial que podemos fazer x0=0. Ambos disputam uma corrida onde a motocicleta possui aceleração, am igual a 8,40 m / s^2 e o carro possui (aceleração ac igual a ( 5,60 m / s^2 ) A velocidade máxima que a moto pode alcançar é de 58,8 m / s senquanto a velocidade máxima que o (carro pode alcançar é ce 106 m / s.) Perceba que a motocicleta sai na frente mas por conta das limitações técnicas logo deverá ser ultrapassada pelo carro pois a velocidade máxima dela é menor. Quanto tempo o carro levará para alcançar a motocicleta?
A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x=3 t-4 t^2+t^3, em que x está em metros e t em segundos. Determine:
(a) a posição do objeto para t=2 s,
(b) a posição do objeto para t=4 s,
© a velocidade média no intervalo de tempo de t=2 s a t=4 s,
(d) o gráfico de x em função de t para 0 <= t <= 4 s,
(e) indique como a resposta do item anterior pode ser determinada a partir do gráfico.
Uma máquina transporta um pacote de 4 kg de uma posição inicial di=(0,5 m) imath+(0,75 m) jmath+ (0,2 m) k em t=0 s até uma posição final df=(7,5 m) imath+(12 m) jmath+(7,2 m) k em t=12 s. A força constante aplicada pela máquina ao pacote é F=(2 N) imath+(4 N) jmath+(6 N) k. Para esse deslocamento, determine:
a) O trabalho realizado pela força da máquina sobre o pacote;
b) A potência média dessa força