Um motor a diesel não usa velas de ignição para a explosão da mistura de combustível com ar nos cilindros. Em vez disso, a temperatura necessária para a ignição do combustível ocorre porque os pistões comprimem o ar nos cilindros. Suponha que o ar a uma temperatura inicial de 21^circ C seja comprimido adiabaticamente até uma temperatura de 688 ^circ C. Suponha que o ar é um gás perfeito para o qual gamma=7 / 5. Determine a razão de compressão, que é o quociente entre o volume inicial e o volume final.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre motores a diesel! O enunciado fala sobre como esses motores comprimem o ar para aquecer e inflamar o combustível sem usar velas de ignição. A gente vai usar conceitos de termodinâmica, especificamente processos adiabáticos, e a equação dos gases perfeitos. Precisamos encontrar a razão de compressão, que é o quociente entre o volume inicial e o volume final do ar no cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as temperaturas envolvidas. As temperaturas no enunciado estão em graus Celsius, mas para usar nas fórmulas de termodinâmica, precisamos converter para Kelvin. A conversão é simples: basta somar 273,15.
Então:
  • Temperatura inicial, $ T_i = 21^{\circ}C + 273,15 = 294,15 , K $
  • Temperatura final, $ T_f = 688^{\circ}C + 273,15 = 961,15 , K $

Passo 3

Agora, vamos lembrar da relação para processos adiabáticos em gases perfeitos. A equação é:
Ti cdot Vi^gamma - 1 = Tf cdot Vf^gamma - 1
Onde:
  • $ T_i $ e $ T_f $ são as temperaturas inicial e final
  • $ V_i $ e $ V_f $ são os volumes inicial e final
  • $ \gamma $ é o coeficiente adiabático, que no caso é $ \frac{7}{5} $

Passo 4

Queremos encontrar a razão de compressão, que é $ \frac{V_i}{V_f} $. Vamos reorganizar a equação para isolar esse quociente.
Primeiro, dividimos ambos os lados por $ T_i $:
ViVf
Dividindo ambos os lados por $ V_f^{\gamma - 1} $:
Ti
Agora, tiramos a raiz de $ \gamma - 1 $ para isolar $ \frac{V_i}{V_f} $:
Vi^gamma - 1 = TfTi cdot Vf^gamma - 1

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
ViVf = (961,15294,15)^175 - 1 = (961,15294,15)^125 = (961,15294,15)^2,5
Calculando a fração:
961,15294,15 approx 3,267
Agora, elevamos esse valor à potência de 2,5:
3,267^2,5 approx 18,73

Resposta

A razão de compressão é aproximadamente 18,73.

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