Uma partícula corre um trecho ABC , sendo esses pontos colineares e AB e BC , consecutivos. Sabe-se que no trecho AB , o módulo da velocidade média da partícula vale V!, enquanto que no trecho BC , o módulo vale V2. Considerando que a velocidade média do trecho AC é igual a raizV1 V2, obtenha a razão A BB C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move por um trajeto que passa pelos pontos A, B e C, todos alinhados. A gente sabe duas velocidades médias: uma no trecho AB, que é $ V_1 $, e outra no trecho BC, que é $ V_2 $. Além disso, a velocidade média no trecho inteiro AC é igual à raiz quadrada de $ V_1 $ multiplicada por $ V_2 $, ou seja, $ \sqrt{V_1 V_2} $. A missão é descobrir qual é a razão entre os comprimentos dos trechos AB e BC, representada por $ \frac{AB}{BC} $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de velocidade média e proporção de distâncias. Precisamos entender como a velocidade média está relacionada com o tempo e a distância percorrida em cada trecho.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o comprimento do trecho AB de $ x $ e o comprimento do trecho BC de $ y $. Assim, o comprimento total do trecho AC é $ x + y $.
A velocidade média ($ V_{médio} $) é dada pela distância total dividida pelo tempo total. Então, temos:
x
Onde $ t_{total} $ é o tempo que a partícula leva para percorrer todo o trajeto AC.

Passo 3

Vamos calcular o tempo em cada trecho. No trecho AB, o tempo $ t_1 $ é:
t1
E no trecho BC, o tempo $ t_2 $ é:
t1 = xV1
Então, o tempo total $ t_{total} $ é:
t2

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da velocidade média do trecho AC:
VAC = x + yxV1 + yV2 = raizV1 V2
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{x}{y} $, que é a razão $ \frac{AB}{BC} $.

Passo 5

Vamos chamar $ r = \frac{x}{y} $. Assim, podemos reescrever $ x = r \cdot y $.
Substituindo isso na equação da velocidade média:
r = xy
Simplificando:
x = r cdot y
Os $ y $ se cancelam:
r cdot y + yr cdot yV1 + yV2 = raizV1 V2

Passo 6

Multiplicando numerador e denominador por $ V_1 V_2 $ para eliminar as frações:
V1 V2
Dividindo ambos os lados por $ \sqrt{V_1 V_2} $:
(r + 1)V1 V2r V2 + V1 = raizV1 V2

Passo 7

Vamos isolar $ r $. Subtraindo 1 de ambos os lados:
r

Resposta

A razão entre os comprimentos dos trechos AB e BC é:
ABBC = raizV1V2

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