Uma partícula corre um trecho ABC , sendo esses pontos colineares e AB e BC , consecutivos. Sabe-se que no trecho AB , o módulo da velocidade média da partícula vale
, enquanto que no trecho BC , o módulo vale
. Considerando que a velocidade média do trecho AC é igual a
, obtenha a razão
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move por um trajeto que passa pelos pontos A, B e C, todos alinhados. A gente sabe duas velocidades médias: uma no trecho AB, que é $ V_1 $, e outra no trecho BC, que é $ V_2 $. Além disso, a velocidade média no trecho inteiro AC é igual à raiz quadrada de $ V_1 $ multiplicada por $ V_2 $, ou seja, $ \sqrt{V_1 V_2} $. A missão é descobrir qual é a razão entre os comprimentos dos trechos AB e BC, representada por $ \frac{AB}{BC} $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de velocidade média e proporção de distâncias. Precisamos entender como a velocidade média está relacionada com o tempo e a distância percorrida em cada trecho.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o comprimento do trecho AB de $ x $ e o comprimento do trecho BC de $ y $. Assim, o comprimento total do trecho AC é $ x + y $.
A velocidade média ($ V_{médio} $) é dada pela distância total dividida pelo tempo total. Então, temos:
Onde $ t_{total} $ é o tempo que a partícula leva para percorrer todo o trajeto AC.
Passo 3
Vamos calcular o tempo em cada trecho. No trecho AB, o tempo $ t_1 $ é:
E no trecho BC, o tempo $ t_2 $ é:
Então, o tempo total $ t_{total} $ é:
Passo 4
Agora, substituímos na fórmula da velocidade média do trecho AC:
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{x}{y} $, que é a razão $ \frac{AB}{BC} $.
Passo 5
Vamos chamar $ r = \frac{x}{y} $. Assim, podemos reescrever $ x = r \cdot y $.
Substituindo isso na equação da velocidade média:
Simplificando:
Os $ y $ se cancelam:
Passo 6
Multiplicando numerador e denominador por $ V_1 V_2 $ para eliminar as frações:
Dividindo ambos os lados por $ \sqrt{V_1 V_2} $:
Passo 7
Vamos isolar $ r $. Subtraindo 1 de ambos os lados:
Resposta
A razão entre os comprimentos dos trechos AB e BC é: