A temperatura de 2,5 mols de um gás perfeito monoatômico é igual a 350 K. Dobra-se a energia interna deste gás acrescentando-se calor. Quanto de calor é necessário quando ele é acrescentado a (a) volume constante e (b) pressão constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 2,5 mols de um gás perfeito monoatômico com uma temperatura inicial de 350 K. A energia interna desse gás vai dobrar quando a gente adicionar calor. A pergunta é: quanto de calor precisamos adicionar quando isso acontece (a) mantendo o volume constante e (b) mantendo a pressão constante?
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas coisas da termodinâmica, como a energia interna de um gás perfeito e como o calor se relaciona com mudanças de energia interna em diferentes condições (volume constante ou pressão constante).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás perfeito monoatômico, a energia interna $ U $ está relacionada à temperatura pela fórmula:
U
Aqui:
  • $ n $ é o número de mols,
  • $ R $ é a constante universal dos gases ($ R = 8,314 , J/mol·K $),
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

Vamos calcular a energia interna inicial do gás. Sabemos que $ n = 2,5 $ mols e $ T = 350 $ K:
n = 2,5

Passo 4

Antes de calcular, vamos simplificar:
Uinicial = 32 times 2,5 = 3,75
Então:
Uinicial = 3,75 times 8,314 times 350

Passo 5

Agora, vamos calcular:
Uinicial = 3,75 times 8,314 times 350 approx 3,75 times 2909,9 approx 10.912 , J

Passo 6

Queremos dobrar a energia interna, então:
Ufinal = 2 times Uinicial = 2 times 10.912 approx 21.824 , J

Passo 7

Agora, vamos encontrar a nova temperatura $ T_{final} $ usando a mesma fórmula da energia interna:
Tfinal
Resolvendo para $ T_{final} $:
Ufinal = 32 n R Tfinal
Plugando os valores:
Tfinal

Passo 8

Calculando:
Tfinal = 43.64862,505 approx 698 , K
Então, a temperatura final é aproximadamente 698 K.

Passo 9

Agora, vamos calcular o calor necessário para cada caso.
a) Volume constante:
Quando o volume é constante, o trabalho realizado é zero ($ W = 0 $), então o calor adicionado $ Q $ é igual à mudança na energia interna ($ \Delta U $):
W = 0

Passo 10

b) Pressão constante:
Quando a pressão é constante, o calor adicionado $ Q $ é igual à mudança na energia interna mais o trabalho realizado pelo gás:
Q
Sabemos que $ W = P \Delta V $, e para um gás ideal, $ P V = n R T $. Então:
Q = De
Onde $ \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 698 - 350 = 348 , K $
Então:
W = P De

Passo 11

Agora, calculamos o calor total:
Q = De

Resposta

(a) O calor necessário a volume constante é aproximadamente 10.912 J.
(b) O calor necessário a pressão constante é aproximadamente 18.150 J.

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