A temperatura de 2,5 mols de um gás perfeito monoatômico é igual a 350 K. Dobra-se a energia interna deste gás acrescentando-se calor. Quanto de calor é necessário quando ele é acrescentado a (a) volume constante e (b) pressão constante?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 2,5 mols de um gás perfeito monoatômico com uma temperatura inicial de 350 K. A energia interna desse gás vai dobrar quando a gente adicionar calor. A pergunta é: quanto de calor precisamos adicionar quando isso acontece (a) mantendo o volume constante e (b) mantendo a pressão constante?
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas coisas da termodinâmica, como a energia interna de um gás perfeito e como o calor se relaciona com mudanças de energia interna em diferentes condições (volume constante ou pressão constante).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um gás perfeito monoatômico, a energia interna $ U $ está relacionada à temperatura pela fórmula:
Aqui:
- $ n $ é o número de mols,
- $ R $ é a constante universal dos gases ($ R = 8,314 , J/mol·K $),
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Passo 3
Vamos calcular a energia interna inicial do gás. Sabemos que $ n = 2,5 $ mols e $ T = 350 $ K:
Passo 4
Antes de calcular, vamos simplificar:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular:
Passo 6
Queremos dobrar a energia interna, então:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a nova temperatura $ T_{final} $ usando a mesma fórmula da energia interna:
Resolvendo para $ T_{final} $:
Plugando os valores:
Passo 8
Calculando:
Então, a temperatura final é aproximadamente 698 K.
Passo 9
Agora, vamos calcular o calor necessário para cada caso.
a) Volume constante:
Quando o volume é constante, o trabalho realizado é zero ($ W = 0 $), então o calor adicionado $ Q $ é igual à mudança na energia interna ($ \Delta U $):
Passo 10
b) Pressão constante:
Quando a pressão é constante, o calor adicionado $ Q $ é igual à mudança na energia interna mais o trabalho realizado pelo gás:
Sabemos que $ W = P \Delta V $, e para um gás ideal, $ P V = n R T $. Então:
Onde $ \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 698 - 350 = 348 , K $
Então:
Passo 11
Agora, calculamos o calor total:
Resposta
(a) O calor necessário a volume constante é aproximadamente 10.912 J.
(b) O calor necessário a pressão constante é aproximadamente 18.150 J.