O motor de Stirling é uma máquina térmica cujo ciclo é composto por dois processos isotérmicos e dois processos isocóricos (isto é, isovolumétricos). Considere que 1 mol de um gás monoatômico ideal atravesse um ciclo de Stirling formado pelos processos: (1) compressão isotérmica do volume inicial V0 até V1=V0 / 3 à temperatura T0; (2) aquecimento a volume constante até o dobro da temperatura inicial T0; (3) expansão isotérmica até o volume inicial V0; (4) resfiamento isovolumétrico até a temperatura inicial T0. Usando a convenção de que o trabalho efetuado pelo gás e calor cedido ao gás são grandezas positivas, determine:
O rendimento dessa máquina térmica.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos um motor de Stirling, que é uma máquina térmica que funciona com um ciclo composto por dois processos isotérmicos (temperatura constante) e dois processos isocóricos (volume constante). Neste caso, estamos lidando com 1 mol de um gás monoatômico ideal que passa por esse ciclo específico. Precisamos determinar o rendimento dessa máquina térmica, o que envolve entender como o trabalho e o calor estão sendo transferidos durante cada etapa do ciclo.

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro processo: compressão isotérmica. Aqui, o volume do gás diminui de W = nRT ln(VfVi) para W1 = 1 times 8,314 times T0 times ln(V03V0) = 8,314 times T0 times ln(13) mantendo a temperatura constante em .
Como o processo é isotérmico, a energia interna do gás não muda ( ), então todo o calor cedido pelo gás é convertido em trabalho. A fórmula para o trabalho realizado durante um processo isotérmico em um gás ideal é:
Onde:
  • mol
  • (constante dos gases)
Substituindo os valores:

Passo 3

No segundo processo, temos aquecimento a volume constante. Isso significa que o volume não muda ( De), mas a temperatura aumenta de Q2 = 1 times 32 times 8,314 times T0 = 32 times 8,314 times T0 para .
Como o volume é constante, não há trabalho realizado ( ). Todo o calor adicionado ao sistema vai para aumentar a energia interna do gás. A mudança na energia interna para um gás monoatômico ideal é dada por:
Onde:
  • para um gás monoatômico
Então:

Passo 4

O terceiro processo é a expansão isotérmica de volta ao volume inicial W3 = nRT ln(VfVi) à temperatura W3 = 1 times 8,314 times 2T0 times ln(V0V03) = 16,628 times T0 times ln(3) .
Aplicando a mesma fórmula do trabalho isotérmico:
Agora:
Substituindo:

Passo 5

No quarto e último processo, temos o resfriamento isovolumétrico, ou seja, o volume permanece De, e a temperatura diminui de Q4 = -32 times 8,314 times T0 para .
Novamente, como o volume é constante, não há trabalho realizado. A mudança na energia interna é:
Então, o calor rejeitado durante este processo é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho líquido realizado pelo ciclo. O trabalho total é a soma dos trabalhos realizados em cada etapa:
Wtotal = W1 + W3 = 8,314 T0 ln(13) + 16,628 T0 ln(3)
Simplificando:
Wtotal = 8,314 T0 [-ln(3)] + 16,628 T0 ln(3) = (16,628 - 8,314) T0 ln(3) = 8,314 T0 ln(3)

Passo 7

O calor total absorvido pelo ciclo é a soma dos calores nos processos de aquecimento:
Qin = Q2 = 32 times 8,314 times T0 = 12,471 times T0
E o calor rejeitado é:
Qout = |Q4| = 32 times 8,314 times T0 = 12,471 times T0

Passo 8

Finalmente, o rendimento ( eta = WtotalQin = 8,314 T0 ln(3)12,471 T0 = 8,314 ln(3)12,471 ) da máquina térmica é dado pela relação entre o trabalho realizado e o calor absorvido:
eta approx 8,314 times 1,098612,471 approx 9,12212,471 approx 0,7326 ou 73,26%
Calculando:

Resposta

O rendimento da máquina térmica é aproximadamente 73,26%.

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