O motor de Stirling é uma máquina térmica cujo ciclo é composto por dois processos isotérmicos e dois processos isocóricos (isto é, isovolumétricos). Considere que 1 mol de um gás monoatômico ideal atravesse um ciclo de Stirling formado pelos processos: (1) compressão isotérmica do volume inicial
até
à temperatura
; (2) aquecimento a volume constante até o dobro da temperatura inicial
; (3) expansão isotérmica até o volume inicial
; (4) resfiamento isovolumétrico até a temperatura inicial
. Usando a convenção de que o trabalho efetuado pelo gás e calor cedido ao gás são grandezas positivas, determine:
O rendimento dessa máquina térmica.
O rendimento dessa máquina térmica.
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos um motor de Stirling, que é uma máquina térmica que funciona com um ciclo composto por dois processos isotérmicos (temperatura constante) e dois processos isocóricos (volume constante). Neste caso, estamos lidando com 1 mol de um gás monoatômico ideal que passa por esse ciclo específico. Precisamos determinar o rendimento dessa máquina térmica, o que envolve entender como o trabalho e o calor estão sendo transferidos durante cada etapa do ciclo.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro processo: compressão isotérmica. Aqui, o volume do gás diminui de
para
mantendo a temperatura constante em
.
Como o processo é isotérmico, a energia interna do gás não muda (
), então todo o calor cedido pelo gás é convertido em trabalho. A fórmula para o trabalho realizado durante um processo isotérmico em um gás ideal é:
Onde:
-
mol -
(constante dos gases) -
-
-
Substituindo os valores:
Passo 3
No segundo processo, temos aquecimento a volume constante. Isso significa que o volume não muda (
), mas a temperatura aumenta de
para
.
Como o volume é constante, não há trabalho realizado (
). Todo o calor adicionado ao sistema vai para aumentar a energia interna do gás. A mudança na energia interna para um gás monoatômico ideal é dada por:
Onde:
-
para um gás monoatômico -
Então:
Passo 4
O terceiro processo é a expansão isotérmica de volta ao volume inicial
à temperatura
.
Aplicando a mesma fórmula do trabalho isotérmico:
Agora:
Substituindo:
Passo 5
No quarto e último processo, temos o resfriamento isovolumétrico, ou seja, o volume permanece
, e a temperatura diminui de
para
.
Novamente, como o volume é constante, não há trabalho realizado. A mudança na energia interna é:
Então, o calor rejeitado durante este processo é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o trabalho líquido realizado pelo ciclo. O trabalho total é a soma dos trabalhos realizados em cada etapa:
Simplificando:
Passo 7
O calor total absorvido pelo ciclo é a soma dos calores nos processos de aquecimento:
E o calor rejeitado é:
Passo 8
Finalmente, o rendimento (
) da máquina térmica é dado pela relação entre o trabalho realizado e o calor absorvido:
Calculando:
Resposta
O rendimento da máquina térmica é aproximadamente 73,26%.