Um ventilador gigante é capaz de mover uma bola sobre um plano horizontal com aceleração constante no tempo dado por a(t)=(4,0 m / s^2) imath+(3,0 m / s^2) jmath. No instante t=0, a velocidade da bola é v0(t)=(5,0 m / s) imath. Determine o vetor velocidade da bola após ela ter se deslocado 10,0 m na direção x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um ventilador que está empurrando uma bola em um plano horizontal com uma aceleração constante. A gente precisa descobrir qual vai ser a velocidade da bola depois que ela se deslocar 10 metros na direção x. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Vamos precisar das fórmulas de aceleração, velocidade e deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a aceleração da bola. Ela é dada por:
a(t) = (4,0 , m/s^2) imath + (3,0 , m/s^2) jmath
Isso significa que a aceleração na direção x é e na direção y é .

Passo 3

Sabemos também que a velocidade inicial da bola é:
v0 = (5,0 , m/s) imath
Isso quer dizer que, no começo, a bola já está se movendo com na direção x e não tem velocidade na direção y.

Passo 4

Vamos focar na direção x para encontrar o tempo que a bola leva para se deslocar 10 metros. A fórmula do deslocamento na direção x é:
x(t) = v0x cdot t + 12 ax t^2
Substituindo os valores:
10 , m = 5,0 , m/s cdot t + 12 cdot 4,0 , m/s^2 cdot t^2
Isso simplifica para:
10 = 5t + 2t^2
Reorganizando:
2t^2 + 5t - 10 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para t = -5 pm raiz5^2 - 4 cdot 2 cdot (-10)2 cdot 2 = -5 pm raiz25 + 804 = -5 pm raiz1054 , temos:
t = -5 + raiz1054 approx -5 + 10,254 approx 5,254 approx 1,31 , s
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:

Passo 5

Agora que temos o tempo, vamos encontrar a velocidade nas direções x e y. A fórmula da velocidade é:
v(t) = v0 + a cdot t
Para a direção x:
vx = 5,0 , m/s + 4,0 , m/s^2 cdot 1,31 , s approx 5,0 + 5,24 approx 10,24 , m/s
Para a direção y:
vy = 0 , m/s + 3,0 , m/s^2 cdot 1,31 , s approx 0 + 3,93 approx 3,93 , m/s

Resposta

Após se deslocar 10,0 metros na direção x, a velocidade da bola é aproximadamente:
v approx (10,24 , m/s) imath + (3,93 , m/s) jmath

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