Um móvel que se desloca com movimento retilíneo uniformemente desacelerado percorre 35 m em t segundos de movimento, e nos seguintes t segundos 25 m . Se todo o movimento dura 4 t segundos, determine o espaço percorrido nos últimos t segundos antes de parar?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto que se move em linha reta, desacelerando de forma constante. Nos primeiros t segundos, ele percorre 35 metros, e nos próximos t segundos, percorre 25 metros. O movimento todo dura 4t segundos. A gente precisa descobrir qual foi a distância percorrida nos últimos t segundos antes de ele parar.
Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), que é quando a velocidade muda de forma constante ao longo do tempo. Vamos precisar entender essas fórmulas e como aplicá-las nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da posição no MRUV:
S = S0 + V0 t + 12 a t^2
Onde:
  • S é a posição final,
  • S0 é a posição inicial,
  • V0 é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração (no caso, desaceleração, então será negativa),
  • t é o tempo.
Como estamos interessados nas distâncias percorridas, podemos focar na variação da posição, então podemos simplificar a fórmula para:
De

Passo 3

Agora, vamos chamar o tempo total de movimento de 4t segundos. Sabemos que nos primeiros t segundos ele percorre 35 metros, e nos próximos t segundos, 25 metros. Vamos chamar a velocidade inicial de V0 e a desaceleração de a.
Para os primeiros t segundos:
35 = V0 t + 12 a t^2 (1)
Para os próximos t segundos, a velocidade inicial agora é V0 + a t, já que a velocidade está diminuindo devido à desaceleração. A distância percorrida é 25 metros:
25 = (V0 + a t) t + 12 a t^2 (2)

Passo 4

Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar V0 e a.
Primeiro, simplificamos a equação (2):
25 = V0 t + a t^2 + 12 a t^2
25 = V0 t + 32 a t^2 (2')
Agora temos duas equações:
35 = V0 t + 12 a t^2 (1)
25 = V0 t + 32 a t^2 (2')
Subtraindo a equação (1) da equação (2’):
25 - 35 = (V0 t + 32 a t^2) - (V0 t + 12 a t^2)
-10 = a t^2
Daí, isolamos a:
a = -10t^2

Passo 5

Agora que temos a, podemos substituir de volta na equação (1) para encontrar V0:
35 = V0 t + 12 ( -10t^2 ) t^2
35 = V0 t - 5
V0 t = 40
V0 = 40t

Passo 6

Sabemos que o movimento todo dura 4t segundos, então a velocidade final ao parar é 0. Podemos usar a fórmula da velocidade no MRUV:
V = V0 + a t
Aqui, V = 0, então:
0 = 40t + ( -10t^2 ) (4t)
0 = 40t - 40t
Isso confirma que nossos valores de V0 e a estão corretos.

Passo 7

Agora, queremos saber a distância percorrida nos últimos t segundos antes de parar. O movimento total dura 4t segundos, então os últimos t segundos correspondem ao intervalo de 3t a 4t segundos.
Usando a fórmula da posição novamente para esse intervalo, onde a velocidade inicial nesse período é a velocidade no instante 3t. Vamos calcular essa velocidade:
V3t = V0 + a (3t) = 40t + ( -10t^2 ) (3t) = 40t - 30t = 10t
Agora, a distância nos últimos t segundos:
Deú
Deú
Deú

Resposta

A distância percorrida nos últimos t segundos antes de parar é de 5 metros.

Exercícios relacionados