A posição de uma partícula ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a equação
sendo
em metros e
em segundos
Obtenha expressões para a velocidade e aceleração da partícula em um instante
qualquer.
Obtenha expressões para a velocidade e aceleração da partícula em um instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a posição de uma partícula ao longo do eixo $ x $ em função do tempo $ t $. A equação dada é:
Nosso objetivo é encontrar as expressões para a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer instante $ t $. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas na física, onde:
- Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
- Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade. Como mencionado, a velocidade é a derivada da posição $ x $ em relação ao tempo $ t $. Então, vamos derivar a equação de $ x $:
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ A t^{2} $ em relação a $ t $ é $ 2A t $.
- A derivada de $ -B t^{3} $ em relação a $ t $ é $ -3B t^{2} $.
Então, a expressão para a velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Vamos derivar a expressão de $ v(t) $:
- A derivada de $ 2A t $ em relação a $ t $ é $ 2A $.
- A derivada de $ -3B t^{2} $ em relação a $ t $ é $ -6B t $.
Portanto, a expressão para a aceleração fica:
Resposta
As expressões para a velocidade e aceleração da partícula em um instante $ t $ são: