Um móvel se move em uma pista reta com movimento uniformemente variado. Nos momentos 1, 2 e 3 segundos, suas posições são 70,90 e 100 m , respectivamente. O Professor Gomes pede que se calcule a posição inicial do carro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um móvel que está se movendo em uma pista reta com movimento uniformemente variado. Isso significa que a aceleração do móvel é constante ao longo do tempo. Precisamos descobrir qual era a posição inicial do móvel, ou seja, onde ele estava na pista no instante $ t = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica que descreve a posição de um objeto em movimento uniformemente variado:
Aqui:
- $ s(t) $ é a posição no tempo $ t $,
- $ s_0 $ é a posição inicial que queremos encontrar,
- $ v_0 $ é a velocidade inicial,
- $ a $ é a aceleração constante.
Passo 3
Nosso objetivo é descobrir $ s_0 $. Para isso, temos três informações sobre a posição do móvel em três instantes diferentes:
- $ s(1) = 70 $ metros em $ t = 1 $ segundo,
- $ s(2) = 90 $ metros em $ t = 2 $ segundos,
- $ s(3) = 100 $ metros em $ t = 3 $ segundos.
Vamos usar essas informações para criar um sistema de equações.
Passo 4
Vamos substituir os valores de $ t $ e $ s(t) $ na fórmula:
Para $ t = 1 $:
Simplificando:
Para $ t = 2 $:
Simplificando:
Para $ t = 3 $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ($ s_0 $, $ v_0 $, $ a $). Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, subtraímos a equação (1) da equação (2):
Em seguida, subtraímos a equação (2) da equação (3):
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
Então, a aceleração $ a = -10 , m/s^2 $.
Passo 6
Agora que sabemos que $ a = -10 , m/s^2 $, vamos substituir esse valor na equação (4) para encontrar $ v_0 $:
Passo 7
Finalmente, com $ v_0 = 35 , m/s $ e $ a = -10 , m/s^2 $, vamos usar a equação (1) para encontrar $ s_0 $:
Resposta
A posição inicial do móvel é $ s_0 = 40 $ metros.