Um móvel se move em uma pista reta com movimento uniformemente variado. Nos momentos 1, 2 e 3 segundos, suas posições são 70,90 e 100 m , respectivamente. O Professor Gomes pede que se calcule a posição inicial do carro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um móvel que está se movendo em uma pista reta com movimento uniformemente variado. Isso significa que a aceleração do móvel é constante ao longo do tempo. Precisamos descobrir qual era a posição inicial do móvel, ou seja, onde ele estava na pista no instante $ t = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica que descreve a posição de um objeto em movimento uniformemente variado:
s(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2
Aqui:
  • $ s(t) $ é a posição no tempo $ t $,
  • $ s_0 $ é a posição inicial que queremos encontrar,
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial,
  • $ a $ é a aceleração constante.

Passo 3

Nosso objetivo é descobrir $ s_0 $. Para isso, temos três informações sobre a posição do móvel em três instantes diferentes:
  • $ s(1) = 70 $ metros em $ t = 1 $ segundo,
  • $ s(2) = 90 $ metros em $ t = 2 $ segundos,
  • $ s(3) = 100 $ metros em $ t = 3 $ segundos.
Vamos usar essas informações para criar um sistema de equações.

Passo 4

Vamos substituir os valores de $ t $ e $ s(t) $ na fórmula:
Para $ t = 1 $:
t
Simplificando:
s(t)
Para $ t = 2 $:
t = 1
Simplificando:
70 = s0 + v0 times 1 + 12 a times 1^2
Para $ t = 3 $:
70 = s0 + v0 + 12 a (1)
Simplificando:
t = 2

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ($ s_0 $, $ v_0 $, $ a $). Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, subtraímos a equação (1) da equação (2):
s0
v0
Em seguida, subtraímos a equação (2) da equação (3):
a
(90 - 70) = (s0 + 2v0 + 2a) - (s0 + v0 + 12 a)
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
20 = v0 + 32 a (4)
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
(100 - 90) = (s0 + 3v0 + 92 a) - (s0 + 2v0 + 2a)
10 = v0 + 52 a (5)
Então, a aceleração $ a = -10 , m/s^2 $.

Passo 6

Agora que sabemos que $ a = -10 , m/s^2 $, vamos substituir esse valor na equação (4) para encontrar $ v_0 $:
a = -10 , m/s^2
v0
20 = v0 + 32 times (-10)

Passo 7

Finalmente, com $ v_0 = 35 , m/s $ e $ a = -10 , m/s^2 $, vamos usar a equação (1) para encontrar $ s_0 $:
v0 = 35 , m/s
a = -10 , m/s^2
s0
70 = s0 + 35 + 12 times (-10)

Resposta

A posição inicial do móvel é $ s_0 = 40 $ metros.

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