Um móvel parte da origem , com velocidade inicial nula, no instante e percorre o eixo com aceleração constante . Após um intervalo de tempo , contado a partir da saída de , um segundo móvel parte de com uma aceleração igual a na, sendo . Mostre que alcançará no instante

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está perguntando. Temos dois móveis, A e B, que partem da origem O ao longo do eixo X. O móvel A começa primeiro, com velocidade inicial zero e aceleração constante . Depois de um tempo , o móvel B parte também de O, mas com uma aceleração maior, igual a , onde é maior que 1. Nosso objetivo é mostrar que o móvel B vai alcançar o móvel A em um certo instante de tempo dado pela fórmula . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a posição de cada móvel em função do tempo. Para o móvel A, que parte do repouso com aceleração , a posição é dada pela fórmula:
Essa fórmula vem da equação do movimento uniformemente acelerado, onde a posição depende do tempo ao quadrado multiplicado pela metade da aceleração.

Passo 3

Agora, vamos considerar o móvel B. Ele parte depois de um tempo , ou seja, começa a se mover no instante . A aceleração de B é . Então, para calcular a posição de B em um tempo após o início de A, precisamos considerar que B só começa a se mover a partir de . A posição será:
Aqui, subtraímos porque B só começa a se mover após esse tempo.

Passo 4

Para encontrar o instante em que B alcança A, precisamos igualar as posições dos dois móveis:
Substituindo as expressões que encontramos:
Podemos simplificar essa equação cancelando dos dois lados:

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da equação:
Distribuindo o :
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar os termos que contêm :
Fatorando :

Passo 6

Essa é uma equa��ão quadrática na forma:
onde:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores de A, B e C:

Passo 7

Vamos simplificar o discriminante:
Fatorando :
Então, temos:
Simplificando dividindo tudo por 2:

Passo 8

Como estamos procurando um tempo positivo, descartamos a solução com o sinal negativo. Assim, temos:
Podemos fatorar o , então:
Agora, reorganizando:

Resposta

O móvel B alcança o móvel A no instante .

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