Um móvel A parte da origem O, com velocidade inicial nula, no instante t0=0 e percorre o eixo O x com aceleração constante a. Após um intervalo de tempo De, contado a partir da saída de A, um segundo móvel B parte de O com uma aceleração igual a na, sendo n>1. Mostre que B alcançará A no instante t=(raiznraizn-1-1) De

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está perguntando. Temos dois móveis, A e B, que partem da origem O ao longo do eixo X. O móvel A começa primeiro, com velocidade inicial zero e aceleração constante . Depois de um tempo , o móvel B parte também de O, mas com uma aceleração maior, igual a , onde é maior que 1. Nosso objetivo é mostrar que o móvel B vai alcançar o móvel A em um certo instante de tempo dado pela fórmula . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a posição de cada móvel em função do tempo. Para o móvel A, que parte do repouso com aceleração xA(t) = 12 a t^2 , a posição é dada pela fórmula:
Essa fórmula vem da equação do movimento uniformemente acelerado, onde a posição depende do tempo ao quadrado multiplicado pela metade da aceleração.

Passo 3

Agora, vamos considerar o móvel B. Ele parte depois de um tempo xB(t) = 12 n a (t - De, ou seja, começa a se mover no instante . A aceleração de B é . Então, para calcular a posição de B em um tempo após o início de A, precisamos considerar que B só começa a se mover a partir de . A posição será:
Aqui, subtraímos porque B só começa a se mover após esse tempo.

Passo 4

Para encontrar o instante em que B alcança A, precisamos igualar as posições dos dois móveis:
xA(t) = xB(t)
Substituindo as expressões que encontramos:
12 a t^2 = 12 n a (t - De
Podemos simplificar essa equação cancelando t^2 = n (t - De dos dois lados:

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da equação:
t^2 = n (t^2 - 2 t De
Distribuindo o t^2 = n t^2 - 2 n t De:
t^2 - n t^2 + 2 n t De
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar os termos que contêm (1 - n) t^2 + 2 n De:
Fatorando :

Passo 6

Essa é uma equa��ão quadrática na forma:
A t^2 + B t + C = 0
onde:
A = (1 - n) B = 2 n De
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
t = -B pm raizB^2 - 4 A C2 A
Substituindo os valores de A, B e C:
t = -2 n De

Passo 7

Vamos simplificar o discriminante:
(2 n De
Fatorando 4 n (De:
t = -2 n De
Então, temos:
t = -n De
Simplificando dividindo tudo por 2:

Passo 8

Como estamos procurando um tempo positivo, descartamos a solução com o sinal negativo. Assim, temos:
t = -n De
Podemos fatorar o t = -raizn (raizn - 1) De, então:
t = (raiznraizn - 1 - 1) De
Agora, reorganizando:

Resposta

O móvel B alcança o móvel A no instante .

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