Um móvel
parte da origem
, com velocidade inicial nula, no instante
e percorre o eixo
com aceleração constante
. Após um intervalo de tempo
, contado a partir da saída de
, um segundo móvel
parte de
com uma aceleração igual a na, sendo
. Mostre que
alcançará
no instante
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está perguntando. Temos dois móveis, A e B, que partem da origem O ao longo do eixo X. O móvel A começa primeiro, com velocidade inicial zero e aceleração constante
. Depois de um tempo
, o móvel B parte também de O, mas com uma aceleração maior, igual a
, onde
é maior que 1. Nosso objetivo é mostrar que o móvel B vai alcançar o móvel A em um certo instante de tempo dado pela fórmula
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento uniformemente acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a posição de cada móvel em função do tempo. Para o móvel A, que parte do repouso com aceleração
, a posição
é dada pela fórmula:
Essa fórmula vem da equação do movimento uniformemente acelerado, onde a posição depende do tempo ao quadrado multiplicado pela metade da aceleração.
Passo 3
Agora, vamos considerar o móvel B. Ele parte depois de um tempo
, ou seja, começa a se mover no instante
. A aceleração de B é
. Então, para calcular a posição de B em um tempo
após o início de A, precisamos considerar que B só começa a se mover a partir de
. A posição
será:
Aqui, subtraímos
porque B só começa a se mover após esse tempo.
Passo 4
Para encontrar o instante em que B alcança A, precisamos igualar as posições dos dois móveis:
Substituindo as expressões que encontramos:
Podemos simplificar essa equação cancelando
dos dois lados:
Passo 5
Vamos expandir o lado direito da equação:
Distribuindo o
:
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 6
Essa é uma equa��ão quadrática na forma:
onde:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores de A, B e C:
Passo 7
Vamos simplificar o discriminante:
Fatorando
:
Então, temos:
Simplificando dividindo tudo por 2:
Passo 8
Como estamos procurando um tempo positivo, descartamos a solução com o sinal negativo. Assim, temos:
Podemos fatorar o
, então:
Agora, reorganizando:
Resposta
O móvel B alcança o móvel A no instante
.
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