Um objeto A encontra-se parado, quando por ele passa um objeto B, com velocidade constante de módulo v. No instante da ultrapassagem imprime-se ao objeto A uma aceleração constante, na mesma direção e sentido da velocidade de B. Determine o módulo da velocidade de A, no instante em que alcança o objeto b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois objetos, A e B. Inicialmente, o objeto A está parado. O objeto B passa por A com uma velocidade constante de módulo . No momento em que B passa por A, aplicamos uma aceleração constante em A, na mesma direção e sentido da velocidade de B. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade de A quando ele alcançar o objeto B.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento uniformemente variado (quando há aceleração) e do movimento retilíneo uniforme (quando a velocidade é constante).

Passo 2

Vamos começar estabelecendo as equações de posição para ambos os objetos.
  • Objeto B: Como B move-se com velocidade constante xB(t) = v cdot t , sua posição em função do tempo xA(t) = 12 a t^2 é:
  • Objeto A: A partir do instante em que recebe a aceleração, A parte do repouso com aceleração constante . A posição de A em função do tempo é dada por:
    (Aqui usamos a fórmula da posição para movimento uniformemente acelerado, onde a posição inicial é zero e a velocidade inicial também é zero.)

Passo 3

Para encontrar o instante em que A alcança B, igualamos as posições dos dois objetos:
xA(t) = xB(t)
12 a t^2 = v cdot t
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 12 a t = v (lembrando que t = 2va ):
Então, o tempo que leva para A alcançar B é .

Passo 4

Agora que temos o tempo vA(t) = a cdot t em que A alcança B, podemos calcular a velocidade de A nesse instante. A velocidade de A em função do tempo é dada por:
vA = a cdot 2va = 2v
Substituindo :

Resposta

O módulo da velocidade de A quando alcança o objeto B é .

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