Uma partícula se move de acordo com a função horária (S.I.). Determine: a distância percorrida pela partícula até o instante de inversão do sentido de seu movimento;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Temos uma partícula que se move de acordo com a função horária , onde representa a posição da partícula em função do tempo (unidades do Sistema Internacional). O objetivo é determinar a distância percorrida pela partícula até o instante em que ela inverte o sentido de seu movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de derivadas para encontrar o instante de inversão e, em seguida, calcular a distância percorrida até esse instante.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar o instante em que a partícula inverte o sentido é determinar quando a velocidade da partícula é zero. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o instante em que a velocidade é zero:
Resolvendo para :
Portanto, o instante de inversão do sentido de movimento ocorre em segundos.

Passo 4

Para encontrar a distância percorrida até esse instante, precisamos calcular a posição da partícula em e em .
Primeiro, a posição em :
Em seguida, a posição em :
Vamos calcular cada termo:
Então:
Para somar essas frações, vamos converter todas para denominador 64:
Portanto:

Passo 5

A distância percorrida pela partícula é a diferença entre a posição final e a posição inicial:
â

Resposta

A distância percorrida pela partícula até o instante de inversão do sentido de seu movimento é metros.

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