Uma partícula se move de acordo com a função horária
(S.I.). Determine: a distância percorrida pela partícula até o instante de inversão do sentido de seu movimento;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Temos uma partícula que se move de acordo com a função horária
, onde
representa a posição da partícula em função do tempo
(unidades do Sistema Internacional). O objetivo é determinar a distância percorrida pela partícula até o instante em que ela inverte o sentido de seu movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de derivadas para encontrar o instante de inversão e, em seguida, calcular a distância percorrida até esse instante.
Passo 2
O primeiro passo para encontrar o instante em que a partícula inverte o sentido é determinar quando a velocidade da partícula é zero. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos calcular a derivada de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o instante
em que a velocidade
é zero:
Resolvendo para
:
Portanto, o instante de inversão do sentido de movimento ocorre em
segundos.
Passo 4
Para encontrar a distância percorrida até esse instante, precisamos calcular a posição da partícula em
e em
.
Primeiro, a posição em
:
Em seguida, a posição em
:
Vamos calcular cada termo:
Então:
Para somar essas frações, vamos converter todas para denominador 64:
Portanto:
Passo 5
A distância percorrida pela partícula é a diferença entre a posição final e a posição inicial:
Resposta
A distância percorrida pela partícula até o instante de inversão do sentido de seu movimento é
metros.