Uma partícula se move de acordo com a função horária s(t)=14+34 t-t^2 (S.I.). Determine: a distância percorrida pela partícula até o instante de inversão do sentido de seu movimento;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Temos uma partícula que se move de acordo com a função horária , onde representa a posição da partícula em função do tempo (unidades do Sistema Internacional). O objetivo é determinar a distância percorrida pela partícula até o instante em que ela inverte o sentido de seu movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo de derivadas para encontrar o instante de inversão e, em seguida, calcular a distância percorrida até esse instante.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar o instante em que a partícula inverte o sentido é determinar quando a velocidade da partícula é zero. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos calcular a derivada de v(t) = ds(t)dt = ddt(14 + 34 t - t^2) = 34 - 2t :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o instante 34 - 2t = 0 em que a velocidade 2t = 34 implies t = 38 é zero:
Resolvendo para :
Portanto, o instante de inversão do sentido de movimento ocorre em segundos.

Passo 4

Para encontrar a distância percorrida até esse instante, precisamos calcular a posição da partícula em s(0) = 14 + 34 cdot 0 - (0)^2 = 14 e em s(38) = 14 + 34 cdot 38 - (38)^2 .
Primeiro, a posição em 34 cdot 38 = 932 :
(38)^2 = 964
Em seguida, a posição em s(38) = 14 + 932 - 964 :
14 = 1664, 932 = 1864, 964 = 964
Vamos calcular cada termo:
s(38) = 1664 + 1864 - 964 = 2564
Então:
Para somar essas frações, vamos converter todas para denominador 64:
Portanto:

Passo 5

A distância percorrida pela partícula é a diferença entre a posição final e a posição inicial:
Distância = s(38) - s(0) = 2564 - 1664 = 964 metros â

Resposta

A distância percorrida pela partícula até o instante de inversão do sentido de seu movimento é metros.

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