Em uma residência, uma fonte independente de corrente alternada 220VAC alimenta circuito composto de uma lâmpada de 60VA com fator de potência unitário, um motor elétrico que consome 2.000W com fator de potência de 0,7 e um micro-ondas com potência ativa de 1350W e fator de potência 0,85. Calcule a potência ativa §, potência aparente (S), potência reativa ® e o fator de potência do circuito (fp), sabendo que a potência ativa § é igual o produto do fator de potência (fp) pela potência aparente (S), e que o quadrado da potência aparente (S) é igual a somatória do quadrado da potência ativa § e da potência reativa ®.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre uma residência que está conectada a uma fonte de corrente alternada (AC) de 220V. Nesse circuito, temos três aparelhos:
  1. Lâmpada: 60VA com fator de potência (fp) 1.
  2. Motor elétrico: Consome 2.000W com fp de 0,7.
  3. Micro-ondas: Potência ativa de 1.350W com fp de 0,85.
Nosso objetivo é calcular quatro coisas para todo o circuito:
  • Potência Ativa §: É a potência real consumida pelos aparelhos.
  • Potência Aparente (S): É a combinação da potência ativa e reativa.
  • Potência Reativa ®: Está relacionada com a energia que vai e vem no circuito, sem realizar trabalho útil.
  • Fator de Potência do circuito (fp): Indica a eficiência do uso da energia.
Para fazer isso, vamos usar as seguintes relações:
  1. $ P = fp \times S $
  2. $ S^2 = P^2 + R^2 $
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a potência ativa de cada aparelho:
  • Lâmpada: Como o fator de potência é 1, a potência ativa $ P_{lamp} $ é igual à potência aparente $ S_{lamp} $. Então:
    Plamp
  • Motor elétrico: Já temos a potência ativa $ P_{motor} = 2000,W $.
  • Micro-ondas: A potência ativa $ P_{micro} = 1350,W $.
Agora, somamos todas as potências ativas para obter a potência ativa total $ P_{total} $:
Slamp

Passo 3

Agora, vamos calcular a potência aparente de cada aparelho que não tem fator de potência unitário. A potência aparente $ S $ é calculada usando a fórmula:
S
  • Motor elétrico:
    S = Pfp
  • Micro-ondas:
    Smotor = 2000,W0,7 approx 2857,14,VA
A lâmpada já tinha $ S_{lamp} = 60,VA $.
Então, a potência aparente total $ S_{total} $ é a soma das potências aparentes individuais:
Smicro = 1350,W0,85 approx 1588,24,VA

Passo 4

Agora, vamos calcular a potência reativa de cada aparelho que não tem fator de potência unitário. A potência reativa $ R $ é dada por:
R
  • Motor elétrico:
    R = raizS^2 - P^2
  • Micro-ondas:
    Rmotor = raiz(2857,14)^2 - (2000)^2 approx raiz8163265,31 - 4000000 approx raiz4163265,31 approx 2040,12,VAR
A lâmpada tem fator de potência unitário, então sua potência reativa é zero:
Rmicro = raiz(1588,24)^2 - (1350)^2 approx raiz2523760,46 - 1822500 approx raiz701260,46 approx 837,90,VAR
Agora, somamos as potências reativas para obter a potência reativa total $ R_{total} $:
Rlamp = 0,VAR

Passo 5

Com as potências ativa total $ P_{total} = 3410,W $ e reativa total $ R_{total} = 2878,02,VAR $, podemos calcular a potência aparente total $ S_{total} $ usando a relação:
Ptotal = 3410,W
Vamos calcular:
Rtotal = 2878,02,VAR
(Observe que houve uma pequena diferença em relação ao passo anterior devido aos arredondamentos.)

Passo 6

Agora, podemos determinar o fator de potência total do circuito $ fp_{total} $ usando a fórmula:
fptotal

Resposta

A potência ativa total é de 3.410 W, a potência aparente total é de aproximadamente 4.464 VA, a potência reativa total é de cerca de 2.878 VAR, e o fator de potência do circuito é 0,764.

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