O movimento curvilíneo de uma partícula é definido por vx=50-16 t e y=100-4 t^2, onde vx é em metros por segundo, y é em metros, e t é em segundos. Também é conhecido que x=0 quando t=0. Faça um gráfico da trajetória da partícula e determine a sua velocidade e açeleraçẳo quando a posição y=0 é atingida.
Resposta: V=50 m / s e a =17,89 m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento curvilíneo de uma partícula, onde a velocidade na direção x é dada por e a posição na direção y é . A gente precisa fazer um gráfico da trajetória dessa partícula e descobrir qual é a velocidade e a aceleração quando a posição é atingida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, como velocidade, aceleração e trajetória de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir em que instante de tempo a posição y = 100 - 4t^2 chega a zero. Temos a equação:
0 = 100 - 4t^2 4t^2 = 100 t^2 = 25 t = 5 segundos
Queremos , então:
Então, a posição é atingida aos 5 segundos.

Passo 3

Agora que sabemos que x(t) = integral vx , dt = integral (50 - 16t) , dt = 50t - 8t^2 + C segundos, vamos encontrar a posição x(5) = 50(5) - 8(5)^2 = 250 - 200 = 50 metros nesse instante. Sabemos que quando , e a velocidade . Para encontrar a posição , vamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Como quando , a constante . Então:
Portanto, a posição aos 5 segundos é 50 metros.

Passo 4

Agora, vamos determinar a velocidade da partícula no instante em que vx(5) = 50 - 16(5) = 50 - 80 = -30 m/s (ou seja, aos 5 segundos). A velocidade na direção x já está dada por vy = dydt = -8t . Substituindo vy(5) = -8(5) = -40 m/s :
A velocidade na direção y, , é a derivada de :
Então, aos 5 segundos:

Passo 5

Por último, vamos calcular a aceleração da partícula quando ax = dvxdt = -16 m/s^2 . A aceleração é a derivada da velocidade. Para ay = dvydt = -8 m/s^2 :
a = raizax^2 + ay^2 = raiz(-16)^2 + (-8)^2 = raiz256 + 64 = raiz320 approx 17,89 m/s^2
E para :
A aceleração total é dada pela combinação das componentes e :

Resposta

A velocidade da partícula quando é e a aceleração é .

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