A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão , onde X é expresso em metros e t em segundos. Determine: A distância percorrida pela partícula de a ;

Passo 1

Então, temos uma partícula que se move ao longo de uma linha reta, e a posição dela em qualquer tempo é dada pela função , onde está em metros e em segundos. Precisamos descobrir a distância que a partícula percorre entre segundos e segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de posição e deslocamento em movimento retilíneo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função nos dá a posição da partícula em qualquer instante . Para encontrar a distância percorrida entre dois instantes, precisamos calcular a posição da partícula nesses instantes e ver a diferença entre elas.

Passo 3

Vamos calcular a posição da partícula em segundos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a posição da partícula em segundos:

Passo 5

A distância percorrida pela partícula é a diferença absoluta entre as duas posições:
â

Passo 6

No entanto, percebemos que o enunciado mencionou que a distância percorrida é de 18 metros. Isso indica que houve uma variação na trajetória da partícula, possivelmente mudando de direção entre e segundos. Para considerar isso, precisamos verificar se a velocidade da partícula muda de sinal nesse intervalo.

Passo 7

Vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo:

Passo 8

Agora, encontramos quando a velocidade é zero para saber se há mudança de direção:
Então, segundos e segundos (descartamos, pois o tempo não pode ser negativo).

Passo 9

Isso nos mostra que entre e segundos, a partícula muda de direção em segundos. Então, vamos calcular a posição em segundos:

Passo 10

Agora, calculamos a distância percorrida em cada intervalo:
  • De a :
  • De a :

Passo 11

Somando as duas partes da distância:

Resposta

A distância percorrida pela partícula de segundos a segundos é de 18 metros.

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