A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão X=t^3-6 t^2-15 t+40, onde X é expresso em metros e t em segundos. Determine: A distância percorrida pela partícula de t=4 s a t=6 s; (d=18 m)

Passo 1

Então, temos uma partícula que se move ao longo de uma linha reta, e a posição dela em qualquer tempo é dada pela função , onde está em metros e em segundos. Precisamos descobrir a distância que a partícula percorre entre segundos e segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de posição e deslocamento em movimento retilíneo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função nos dá a posição da partícula em qualquer instante . Para encontrar a distância percorrida entre dois instantes, precisamos calcular a posição da partícula nesses instantes e ver a diferença entre elas.

Passo 3

Vamos calcular a posição da partícula em X(4) = (4)^3 - 6(4)^2 - 15(4) + 40 = 64 - 96 - 60 + 40 = -52 metros segundos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a posição da partícula em X(6) = (6)^3 - 6(6)^2 - 15(6) + 40 = 216 - 216 - 90 + 40 = -50 metros segundos:

Passo 5

A distância percorrida pela partícula é a diferença absoluta entre as duas posições:
Distância = |X(6) - X(4)| = |-50 - (-52)| = |2| = 2 metros â

Passo 6

No entanto, percebemos que o enunciado mencionou que a distância percorrida é de 18 metros. Isso indica que houve uma variação na trajetória da partícula, possivelmente mudando de direção entre e segundos. Para considerar isso, precisamos verificar se a velocidade da partícula muda de sinal nesse intervalo.

Passo 7

Vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo:
V(t) = dXdt = 3t^2 - 12t - 15

Passo 8

Agora, encontramos quando a velocidade é zero para saber se há mudança de direção:
3t^2 - 12t - 15 = 0 t^2 - 4t - 5 = 0 t = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Então, segundos e segundos (descartamos, pois o tempo não pode ser negativo).

Passo 9

Isso nos mostra que entre X(5) = (5)^3 - 6(5)^2 - 15(5) + 40 = 125 - 150 - 75 + 40 = -60 metros e segundos, a partícula muda de direção em segundos. Então, vamos calcular a posição em segundos:

Passo 10

Agora, calculamos a distância percorrida em cada intervalo:
  • De |X(5) - X(4)| = |-60 - (-52)| = | -8 | = 8 metros a |X(6) - X(5)| = |-50 - (-60)| = |10| = 10 metros :
  • De a :

Passo 11

Somando as duas partes da distância:
8 metros + 10 metros = 18 metros

Resposta

A distância percorrida pela partícula de segundos a segundos é de 18 metros.

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