O movimento curvilíneo de uma partícula é definido pelas equações a seguir.
vx(x)=50-5 t y(x)=200+40 t-2,5 t^2
onde x e y são as coordenadas, em metros, da posição da partícula; vx é a velocidade da partícula na direção x em m/s; e t é o tempo em segundos.
Sabendo que x=0 em t=0, a velocidade da partícula, em módulo, quando y= 110 m vale, aproximadamente,
(A) 16 m / s.
(B) 20 m / s.
© 32 m / s.
(D) 40 m / s.
(E) 64 m / s.

Resposta: (E)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o movimento curvilíneo de uma partícula. As equações dadas são para a velocidade na direção e para a posição na direção . Nosso objetivo é encontrar a velocidade total (ou módulo da velocidade) da partícula quando a posição for igual a 110 metros. Para resolver isso, vamos precisar entender de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar as causas desse movimento. Vamos precisar das fórmulas de velocidade, posição e como calcular o módulo da velocidade a partir dos componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade total da partícula é o vetor resultante das componentes de velocidade nas direções v = raizvx^2 + vy^2 e . A fórmula para o módulo da velocidade ( ) é dada por:
Então, precisamos encontrar e no instante em que metros.

Passo 3

Já temos a expressão para vx(t) = 50 - 5t :
y(t) = 200 + 40t - 2,5t^2
Agora, precisamos encontrar . Para isso, vamos primeiro usar a equação da posição :
Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo quando metros.

Passo 4

Substituindo 110 = 200 + 40t - 2,5t^2 na equação:
-2,5t^2 + 40t + (200 - 110) = 0 -2,5t^2 + 40t + 90 = 0
Vamos rearranjar essa equação para encontrar 2,5t^2 - 40t - 90 = 0 :
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
De
Agora, vamos resolver essa equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
t = 40 pm raiz25005 = 40 pm 505
Onde t1 = 905 = 18 t2 = -105 = -2 , e .
Calculando o discriminante ( ):
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos . Portanto, segundos.

Passo 5

Agora que temos vx = 50 - 5t = 50 - 5 times 18 = 50 - 90 = -40 , m/s segundos, vamos calcular vy(t) = dydt = ddt(200 + 40t - 2,5t^2) = 40 - 5t e vy = 40 - 5 times 18 = 40 - 90 = -50 , m/s .
Para :
O sinal negativo indica que a velocidade está na direção oposta ao eixo .
Para , precisamos derivar a posição em relação ao tempo para obter a velocidade:
Substituindo :
Novamente, o sinal negativo indica a direção da velocidade na direção .

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade total usando a fórmula:
v = raizvx^2 + vy^2 = raiz(-40)^2 + (-50)^2 = raiz1600 + 2500 = raiz4100 approx 64 , m/s

Resposta

(E) .

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