O movimento curvilíneo de uma partícula é definido pelas equações a seguir.
onde x e y são as coordenadas, em metros, da posição da partícula; vx é a velocidade da partícula na direção
em m/s; e t é o tempo em segundos.
Sabendo que
em
, a velocidade da partícula, em módulo, quando
vale, aproximadamente,
(A)
.
(B)
.
©
.
(D)
.
(E)
.
Resposta: (E)
Sabendo que
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o movimento curvilíneo de uma partícula. As equações dadas são para a velocidade na direção
e para a posição na direção
. Nosso objetivo é encontrar a velocidade total (ou módulo da velocidade) da partícula quando a posição
for igual a 110 metros. Para resolver isso, vamos precisar entender de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar as causas desse movimento. Vamos precisar das fórmulas de velocidade, posição e como calcular o módulo da velocidade a partir dos componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade total da partícula é o vetor resultante das componentes de velocidade nas direções
e
. A fórmula para o módulo da velocidade (
) é dada por:
Então, precisamos encontrar
e
no instante em que
metros.
Passo 3
Já temos a expressão para
:
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, vamos primeiro usar a equação da posição
:
Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo
quando
metros.
Passo 4
Substituindo
na equação:
Vamos rearranjar essa equação para encontrar
:
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos
. Portanto,
segundos.
Passo 5
Agora que temos
segundos, vamos calcular
e
.
Para
:
O sinal negativo indica que a velocidade está na direção oposta ao eixo
.
Para
, precisamos derivar a posição em relação ao tempo para obter a velocidade:
Substituindo
:
Novamente, o sinal negativo indica a direção da velocidade na direção
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo da velocidade total usando a fórmula:
Resposta
(E)
.