Um ponto descreve uma circunferência de acordo com a lei s=t^3+2 t^2, onde s é medido em metros ao longo da trajetória e t em segundos. Se a aceleração total do ponto é de 16 raiz2 m cdot s^-1 quando t=2 s, calcular o raio da circunferência.
Resposta: R=2 5 m.
Esta questão foi colocada na versão traduzida do livro

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que está se movendo ao longo de uma circunferência, e a posição desse ponto é dada pela equação , onde é a distância percorrida em metros e é o tempo em segundos. Queremos descobrir qual é o raio dessa circunferência quando o tempo segundos e a aceleração total do ponto é .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de entender como a aceleração total se relaciona com a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta em movimentos circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do ponto em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
v(t) = dsdt
Derivando v(t) = 3 t^2 + 4 t :

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração do ponto, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
a(t) = dvdt
Derivando a(t) = 6 t + 4 :

Passo 4

Vamos calcular a velocidade e a aceleração no instante v(2) = 3 (2)^2 + 4 (2) = 3 times 4 + 8 = 12 + 8 = 20 , m/s segundos.
Para a velocidade:
a(2) = 6 times 2 + 4 = 12 + 4 = 16 , m/s^2
Para a aceleração:

Passo 5

A aceleração total em um movimento circular é composta por duas partes: a aceleração tangencial ( at = 16 , m/s^2 ) e a aceleração centrípeta ( ac = v^2R ).
A aceleração tangencial é a mesma que calculamos:
atotal = raizat^2 + ac^2
A aceleração centrípeta é dada por:
E a aceleração total ( ) é:
Foi dado que . Vamos substituir e resolver para .

Passo 6

Substituindo os valores na equação da aceleração total:
16 raiz2 = raiz16^2 + ( 20^2R )^2
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(16 raiz2)^2 = 16^2 + ( 400R )^2
Calculando:
512 = 256 + 160000R^2
Subtraindo 256 de ambos os lados:
256 = 160000R^2

Passo 7

Agora, resolvemos para R^2 = 160000256 :
R^2 = 625
R = raiz625
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
R = 25 , m

Resposta

R = 25 , m

Exercícios relacionados