Um ponto descreve uma circunferência de acordo com a lei
, onde
é medido em metros ao longo da trajetória e
em segundos. Se a aceleração total do ponto é de
quando
, calcular o raio da circunferência.
Resposta:
.
Esta questão foi colocada na versão traduzida do livro
Resposta:
Esta questão foi colocada na versão traduzida do livro
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que está se movendo ao longo de uma circunferência, e a posição desse ponto é dada pela equação
, onde
é a distância percorrida em metros e
é o tempo em segundos. Queremos descobrir qual é o raio dessa circunferência quando o tempo
segundos e a aceleração total do ponto é
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de entender como a aceleração total se relaciona com a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta em movimentos circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do ponto em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Derivando
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração do ponto, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Derivando
:
Passo 4
Vamos calcular a velocidade e a aceleração no instante
segundos.
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Passo 5
A aceleração total em um movimento circular é composta por duas partes: a aceleração tangencial (
) e a aceleração centrípeta (
).
A aceleração tangencial é a mesma que calculamos:
A aceleração centrípeta é dada por:
E a aceleração total (
) é:
Foi dado que
. Vamos substituir e resolver para
.
Passo 6
Substituindo os valores na equação da aceleração total:
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando:
Subtraindo 256 de ambos os lados:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados: