Seja
uma matriz
e
, onde
é um parâmetro escalar, é um polinômio invariante do terceiro grau sob rotações. Determine os invariantes
e
. Na equação acima,
é o tensor identidade:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz
de tamanho
e uma função
, onde
é um número escalar e
é a matriz identidade. Queremos encontrar os invariantes
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e como derivar funções polinomiais em relação a um parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa substituir
por 0 na função
:
Então,
é simplesmente o determinante da matriz
. Isso nos dá o primeiro invariante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em
, ou seja,
. Primeiro, precisamos derivar
em relação a
:
Para derivar o determinante, usamos a propriedade que a derivada do determinante de uma matriz
é igual ao traço da adjunta de
multiplicada pela derivada de
:
Mas como estamos avaliando em
, temos:
Aqui,
é a soma dos elementos da diagonal principal de
.
Passo 4
Para encontrar a segunda derivada
, precisamos derivar
novamente em relação a
:
Isso envolve usar a regra do produto e derivar tanto o determinante quanto o traço. Após os cálculos, avaliamos em
:
Simplificando, conseguimos expressar
em termos de traços de
.
Resposta
Os invariantes solicitados são: