Seja uma matriz e , onde é um parâmetro escalar, é um polinômio invariante do terceiro grau sob rotações. Determine os invariantes e . Na equação acima, é o tensor identidade: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz de tamanho e uma função , onde é um número escalar e é a matriz identidade. Queremos encontrar os invariantes , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e como derivar funções polinomiais em relação a um parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Isso significa substituir por 0 na função :
Então, é simplesmente o determinante da matriz . Isso nos dá o primeiro invariante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de em , ou seja, . Primeiro, precisamos derivar em relação a :
Para derivar o determinante, usamos a propriedade que a derivada do determinante de uma matriz é igual ao traço da adjunta de multiplicada pela derivada de :
Mas como estamos avaliando em , temos:
Aqui, é a soma dos elementos da diagonal principal de .
Passo 4
Para encontrar a segunda derivada , precisamos derivar novamente em relação a :
Isso envolve usar a regra do produto e derivar tanto o determinante quanto o traço. Após os cálculos, avaliamos em :
Simplificando, conseguimos expressar em termos de traços de .