Seja A uma matriz 3 times 3 e f(lambda)=det(A+lambda 1)𝟙, onde lambda é um parâmetro escalar, é um polinômio invariante do terceiro grau sob rotações. Determine os invariantes f(0), f^prime(0) e f^prime prime(0). Na equação acima, 1 l𝟙𝕝 é o tensor identidade: 1i j=de𝟙.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz de tamanho e uma função 𝟙, onde é um número escalar e 𝟙 é a matriz identidade. Queremos encontrar os invariantes , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e como derivar funções polinomiais em relação a um parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(0) = det(A + 0 cdot 1) = det(A) . Isso significa substituir por 0 na função :
𝟙
Então, é simplesmente o determinante da matriz . Isso nos dá o primeiro invariante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de f'(lambda) = ddlambda det(A + lambda 1) em f'(lambda) = det(A + lambda 1) cdot tr((A + lambda 1)^-1 cdot 1) , ou seja, f'(0) = det(A) cdot tr(A^-1 cdot 1) = det(A) cdot tr(A^-1) . Primeiro, precisamos derivar em relação a :
𝟙
Para derivar o determinante, usamos a propriedade que a derivada do determinante de uma matriz é igual ao traço da adjunta de multiplicada pela derivada de :
𝟙𝟙𝟙
Mas como estamos avaliando em , temos:
𝟙
Aqui, é a soma dos elementos da diagonal principal de .

Passo 4

Para encontrar a segunda derivada f''(lambda) = ddlambda [ det(A + lambda 1) cdot tr((A + lambda 1)^-1 cdot 1) ] , precisamos derivar f''(0) = det(A) cdot [ -tr(A^-1 cdot 1 cdot A^-1 cdot 1) + tr(A^-1 cdot 1)^2 ] novamente em relação a :
𝟙𝟙𝟙
Isso envolve usar a regra do produto e derivar tanto o determinante quanto o traço. Após os cálculos, avaliamos em :
𝟙𝟙𝟙
Simplificando, conseguimos expressar em termos de traços de .

Resposta

Os invariantes solicitados são:
f(0) = det(A)
f'(0) = det(A) cdot tr(A^-1)
f''(0) = det(A) cdot [ tr(A^-1)^2 - tr(A^-2) ]

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