Seja uma matriz e 𝟙, onde é um parâmetro escalar, é um polinômio invariante do terceiro grau sob rotações. Determine os invariantes e . Na equação acima, 𝟙𝕝 é o tensor identidade: 𝟙.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz de tamanho e uma função 𝟙, onde é um número escalar e 𝟙 é a matriz identidade. Queremos encontrar os invariantes , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e como derivar funções polinomiais em relação a um parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa substituir por 0 na função :
𝟙
Então, é simplesmente o determinante da matriz . Isso nos dá o primeiro invariante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em , ou seja, . Primeiro, precisamos derivar em relação a :
𝟙
Para derivar o determinante, usamos a propriedade que a derivada do determinante de uma matriz é igual ao traço da adjunta de multiplicada pela derivada de :
𝟙𝟙𝟙
Mas como estamos avaliando em , temos:
𝟙
Aqui, é a soma dos elementos da diagonal principal de .

Passo 4

Para encontrar a segunda derivada , precisamos derivar novamente em relação a :
𝟙𝟙𝟙
Isso envolve usar a regra do produto e derivar tanto o determinante quanto o traço. Após os cálculos, avaliamos em :
𝟙𝟙𝟙
Simplificando, conseguimos expressar em termos de traços de .

Resposta

Os invariantes solicitados são:

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