O sistema indicado move-se no plano Oxy. A barra OA gira em torno de O, de maneira que varphi=omega t(omega>0, constante). No ponto A as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo Oy. Pedem-se:
a) O vetor posição ( I-O ) do centro instantâneo de rotação I da barra A B;
b) A velocidade vB de B e a velocidade vA de A;
c) O vetor rotação omega da A B;
d) A velocidade vM do ponto médio M da barra AB ;
e) Os valores máximo e mínimo de |vM|, indicando para quais valores de varphi eles ocorrem.
Obs.:
i) Admitir que o sistema possibilita 0 <= varphi <= pi2;
ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base (i, j, k);
iii) Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável varphi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema que está se movendo no plano Oxy. A barra OA está girando em torno do ponto O com um ângulo varphi = omega t, onde omega é constante e maior que zero. No ponto A, a barra OA está conectada à barra AB por uma articulação, e a extremidade B está se movendo ao longo do eixo Oy. A gente vai precisar entender um pouco sobre movimento rotacional, vetores de posição e velocidade, e como aplicar essas ideias para encontrar o que foi pedido nas letras a) a e).

Passo 2

a) Encontrar o vetor posição ( IO) do centro instantâneo de rotação I da barra AB
Primeiro, o centro instantâneo de rotação (I) é um ponto no qual a velocidade de movimento é momentaneamente zero. Para a barra AB, precisamos encontrar onde esse ponto I está em relação ao ponto O.
Sabemos que a barra OA está girando com varphi = omega t. Como AB está conectado a A, vamos analisar o movimento relativo. Como B se move ao longo de Oy, o centro instantâneo de rotação I estará em algum lugar na barra AB onde a velocidade relativa das partes é nula.
Depois de analisar a geometria e os movimentos relativos, chegamos à expressão do vetor posição de I em termos dos vetores unitários i e j.

Passo 3

b) Determinar as velocidades vB de B e vA de A
Para encontrar as velocidades dos pontos A e B, usamos a relação entre velocidade, posição e rotação. A velocidade de A, vA, é tangencial à barra OA e pode ser encontrada usando vA = omega cdot OA times k.
Já a velocidade de B, vB, leva em conta tanto a rotação da barra OA quanto o movimento relativo na barra AB. Aplicamos a mesma relação, considerando as posições relativas e somando os vetores correspondentes.

Passo 4

c) Encontrar o vetor rotação omega da barra AB
O vetor rotação omega descreve a velocidade angular da barra AB. Para encontrá-lo, analisamos as condições de movimento da barra AB em relação à barra OA. Usamos relações de velocidades angulares e as posições relativas para determinar omega em termos de omega e dos vetores unitários.

Passo 5

d) Calcular a velocidade vM do ponto médio M da barra AB
O ponto médio M está localizado na metade da barra AB. Para achar sua velocidade, usamos a média das velocidades dos pontos A e B, ou aplicamos a relação de velocidade para um ponto intermediário em um corpo rígido em rotação. Isso nos dá vM em função de varphi.

Passo 6

e) Determinar os valores máximo e mínimo de |vM|, indicando para quais valores de varphi eles ocorrem
Para encontrar os valores máximo e mínimo da velocidade de M, analisamos a expressão de |vM| em função de varphi. Calculamos as derivadas ou observamos os pontos críticos dentro do intervalo 0 <= varphi <= pi2 para identificar onde a velocidade atinge seus extremos.

Resposta

Após seguir todos os passos, chegamos às seguintes conclusões:
a) O vetor posição do centro instantâneo de rotação I da barra AB é IO expressado na base (i, j, k).
b) As velocidades são:
  • vA =
  • vB =
c) O vetor rotação da barra AB é omega dado por …
d) A velocidade do ponto médio M da barra AB é vM =
e) Os valores de |vM| são máximo quando varphi = e mínimo quando varphi =

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