O sistema indicado move-se no plano Oxy. A barra OA gira em torno de O, de maneira que , constante). No ponto A as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo Oy. Pedem-se:
a) O vetor posição ( ) do centro instantâneo de rotação I da barra ;
b) A velocidade de B e a velocidade de ;
c) O vetor rotação da ;
d) A velocidade do ponto médio da barra AB ;
e) Os valores máximo e mínimo de , indicando para quais valores de eles ocorrem.
Obs.:
i) Admitir que o sistema possibilita ;
ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base ;
iii) Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema que está se movendo no plano Oxy. A barra OA está girando em torno do ponto O com um ângulo , onde é constante e maior que zero. No ponto A, a barra OA está conectada à barra AB por uma articulação, e a extremidade B está se movendo ao longo do eixo Oy. A gente vai precisar entender um pouco sobre movimento rotacional, vetores de posição e velocidade, e como aplicar essas ideias para encontrar o que foi pedido nas letras a) a e).
Passo 2
a) Encontrar o vetor posição () do centro instantâneo de rotação I da barra AB
Primeiro, o centro instantâneo de rotação (I) é um ponto no qual a velocidade de movimento é momentaneamente zero. Para a barra AB, precisamos encontrar onde esse ponto I está em relação ao ponto O.
Sabemos que a barra OA está girando com . Como AB está conectado a A, vamos analisar o movimento relativo. Como B se move ao longo de Oy, o centro instantâneo de rotação I estará em algum lugar na barra AB onde a velocidade relativa das partes é nula.
Depois de analisar a geometria e os movimentos relativos, chegamos à expressão do vetor posição de I em termos dos vetores unitários e .
Passo 3
b) Determinar as velocidades de B e de A
Para encontrar as velocidades dos pontos A e B, usamos a relação entre velocidade, posição e rotação. A velocidade de A, , é tangencial à barra OA e pode ser encontrada usando .
Já a velocidade de B, , leva em conta tanto a rotação da barra OA quanto o movimento relativo na barra AB. Aplicamos a mesma relação, considerando as posições relativas e somando os vetores correspondentes.
Passo 4
c) Encontrar o vetor rotação da barra AB
O vetor rotação descreve a velocidade angular da barra AB. Para encontrá-lo, analisamos as condições de movimento da barra AB em relação à barra OA. Usamos relações de velocidades angulares e as posições relativas para determinar em termos de e dos vetores unitários.
Passo 5
d) Calcular a velocidade do ponto médio M da barra AB
O ponto médio M está localizado na metade da barra AB. Para achar sua velocidade, usamos a média das velocidades dos pontos A e B, ou aplicamos a relação de velocidade para um ponto intermediário em um corpo rígido em rotação. Isso nos dá em função de .
Passo 6
e) Determinar os valores máximo e mínimo de , indicando para quais valores de eles ocorrem
Para encontrar os valores máximo e mínimo da velocidade de M, analisamos a expressão de em função de . Calculamos as derivadas ou observamos os pontos críticos dentro do intervalo para identificar onde a velocidade atinge seus extremos.
Resposta
Após seguir todos os passos, chegamos às seguintes conclusões:
a) O vetor posição do centro instantâneo de rotação I da barra AB é expressado na base .
b) As velocidades são:
c) O vetor rotação da barra AB é dado por …
d) A velocidade do ponto médio M da barra AB é
e) Os valores de são máximo quando e mínimo quando