Movimento de projéteis - Exercício p. 74
A trajetória de um projétil é dada por
y(x)=(tan theta0) x-(g2 v0^2 cos ^2 theta0) x^2
sendo v0 o módulo da velocidade inicial do lançamento do projétil (v0=|v0|) a um ângulo theta0 em relação ao eixo horizontal e sob ação da gravidade g. Utilize a equação 3-22 da trajetória de um projétil para deduzir a equação
R=v0^2g sen 2 theta0
que se refere ao alcance horizontal R (quando as elevações inicial e final forem iguais).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis juntos! O enunciado nos dá a equação da trajetória de um projétil:
y(x) = (tan theta0) x - (g2 v0^2 cos^2 theta0) x^2
Nosso objetivo é deduzir a equação do alcance horizontal R = v0^2g sin 2theta0 :
Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações que descrevem o movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é o alcance horizontal . Ele representa a distância máxima que o projétil alcança no eixo horizontal quando a elevação inicial e final são iguais, ou seja, quando o projétil retorna ao mesmo nível de lançamento.
Para encontrar , precisamos determinar o valor de quando (o projétil toca o solo novamente).

Passo 3

Vamos igualar a equação da trajetória a zero:
0 = (tan theta0) x - (g2 v0^2 cos^2 theta0) x^2
Isso nos dá:
(tan theta0) x = (g2 v0^2 cos^2 theta0) x^2

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por tan theta0 = g2 v0^2 cos^2 theta0 x (considerando , que é o ponto de lançamento):
Agora, queremos isolar , que representa o alcance .

Passo 5

Isolando x = 2 v0^2 cos^2 theta0 tan theta0g :
Sabemos que . Vamos substituir isso na equação.

Passo 6

Substituindo x = 2 v0^2 cos^2 theta0 cdot sin theta0cos theta0g :
x = 2 v0^2 cos theta0 sin theta0g
Simplificando os termos:

Passo 7

Reconhecemos que x = v0^2 sin 2theta0g . Vamos utilizar essa identidade trigonométrica na equação:

Resposta

Portanto, o alcance horizontal R = v0^2g sin 2theta0 é dado por:

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