Movimento de projéteis - Exercício p. 74
A trajetória de um projétil é dada por
sendo o módulo da velocidade inicial do lançamento do projétil a um ângulo em relação ao eixo horizontal e sob ação da gravidade . Utilize a equação 3-22 da trajetória de um projétil para deduzir a equação
que se refere ao alcance horizontal (quando as elevações inicial e final forem iguais).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis juntos! O enunciado nos dá a equação da trajetória de um projétil:
Nosso objetivo é deduzir a equação do alcance horizontal :
Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações que descrevem o movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é o alcance horizontal . Ele representa a distância máxima que o projétil alcança no eixo horizontal quando a elevação inicial e final são iguais, ou seja, quando o projétil retorna ao mesmo nível de lançamento.
Para encontrar , precisamos determinar o valor de quando (o projétil toca o solo novamente).

Passo 3

Vamos igualar a equação da trajetória a zero:
Isso nos dá:

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por (considerando , que é o ponto de lançamento):
Agora, queremos isolar , que representa o alcance .

Passo 5

Isolando :
Sabemos que . Vamos substituir isso na equação.

Passo 6

Substituindo :
Simplificando os termos:

Passo 7

Reconhecemos que . Vamos utilizar essa identidade trigonométrica na equação:

Resposta

Portanto, o alcance horizontal é dado por:

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