Movimento de projéteis - Exercício p. 74
A trajetória de um projétil é dada por
sendo o módulo da velocidade inicial do lançamento do projétil a um ângulo theta0 em relação ao eixo horizontal e sob ação da gravidade g. Utilize a equação 3-22 da trajetória de um projétil para deduzir a equação
R=v0^2g sen 2 theta0
que se refere ao alcance horizontal R (quando as elevações inicial e final forem iguais).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis juntos! O enunciado nos dá a equação da trajetória de um projétil:
Nosso objetivo é deduzir a equação do alcance horizontal R = v0^2g sin 2theta0 :
Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações que descrevem o movimento de projéteis.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que é o alcance horizontal . Ele representa a distância máxima que o projétil alcança no eixo horizontal quando a elevação inicial e final são iguais, ou seja, quando o projétil retorna ao mesmo nível de lançamento.
Para encontrar , precisamos determinar o valor de quando (o projétil toca o solo novamente).
Passo 3
Vamos igualar a equação da trajetória a zero:
0 = (tan theta0) x - (g2 v0^2 cos^2 theta0) x^2
Isso nos dá:
(tan theta0) x = (g2 v0^2 cos^2 theta0) x^2
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por tan theta0 = g2 v0^2 cos^2 theta0 x (considerando , que é o ponto de lançamento):
Agora, queremos isolar , que representa o alcance .
Passo 5
Isolando x = 2 v0^2 cos^2 theta0 tan theta0g :
Sabemos que . Vamos substituir isso na equação.
Passo 6
Substituindo x = 2 v0^2 cos^2 theta0 cdot sin theta0cos theta0g :
x = 2 v0^2 cos theta0 sin theta0g
Simplificando os termos:
Passo 7
Reconhecemos que x = v0^2 sin 2theta0g . Vamos utilizar essa identidade trigonométrica na equação:
Resposta
Portanto, o alcance horizontal R = v0^2g sin 2theta0 é dado por: