Uma roda cilíndrica homogênea, de raio
e massa
, rola sem deslizar por um plano horizontal, deslocando-se com velocidade
, e sobe sobre um plano inclinado de inclinação
, continuando a rolar sem deslizamento (Fig. 9). Até que altura
o centro da roda subirá sobre o plano inclinado? Se precisar, use o fato de que o momento de inércia de uma roda homogênea em relação ao seu centro de massa é igual a
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda cilíndrica homogênea com raio
e massa
que está rolando sem deslizar em um plano horizontal com velocidade
. Em seguida, ela começa a subir por um plano inclinado com ângulo
e continua rolando sem deslizar. Precisamos descobrir até que altura
o centro da roda sobe no plano inclinado.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e energia potencial gravitacional. Precisaremos também considerar a condição de rolamento sem deslize, que relaciona a velocidade linear e a angular.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as energias envolvidas quando a roda está rolando no plano horizontal. A energia cinética total (
) da roda é a soma da energia cinética translacional e da energia cinética rotacional.
A energia cinética translacional é dada por:
A energia cinética rotacional, usando o momento de inércia fornecido (
), é:
Como a roda rola sem deslizar, a velocidade angular
está relacionada com a velocidade linear
por:
Substituindo
na expressão de
:
Então, a energia cinética total é:
Passo 3
Quando a roda sobe pelo plano inclinado até a altura
, sua energia cinética diminui e é convertida em energia potencial gravitacional (
).
A energia potencial gravitacional é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Como não há perdas de energia (deslizamento não ocorre e consideramos ausência de atrito resistente), a energia cinética inicial é igual à energia potencial final:
Passo 4
Agora, podemos resolver a equação para encontrar a altura
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Resposta
A altura máxima que o centro da roda sobe no plano inclinado é: