Uma roda cilíndrica homogênea, de raio R e massa M, rola sem deslizar por um plano horizontal, deslocando-se com velocidade v, e sobe sobre um plano inclinado de inclinação theta, continuando a rolar sem deslizamento (Fig. 9). Até que altura h o centro da roda subirá sobre o plano inclinado? Se precisar, use o fato de que o momento de inércia de uma roda homogênea em relação ao seu centro de massa é igual a M R^2 / 2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda cilíndrica homogênea com raio R e massa M que está rolando sem deslizar em um plano horizontal com velocidade v. Em seguida, ela começa a subir por um plano inclinado com ângulo theta e continua rolando sem deslizar. Precisamos descobrir até que altura h o centro da roda sobe no plano inclinado.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e energia potencial gravitacional. Precisaremos também considerar a condição de rolamento sem deslize, que relaciona a velocidade linear e a angular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as energias envolvidas quando a roda está rolando no plano horizontal. A energia cinética total ( Ecin) da roda é a soma da energia cinética translacional e da energia cinética rotacional.
A energia cinética translacional é dada por:
Etrans = 12 M v^2
A energia cinética rotacional, usando o momento de inércia fornecido ( I = 12 M R^2), é:
Erot = 12 I omega^2 = 12 ( 12 M R^2 ) omega^2 = 14 M R^2 omega^2
Como a roda rola sem deslizar, a velocidade angular omega está relacionada com a velocidade linear v por:
v = R omega Rightarrow omega = vR
Substituindo omega na expressão de Erot:
Erot = 14 M R^2 ( vR )^2 = 14 M v^2
Então, a energia cinética total é:
Ecin = Etrans + Erot = 12 M v^2 + 14 M v^2 = 34 M v^2

Passo 3

Quando a roda sobe pelo plano inclinado até a altura h, sua energia cinética diminui e é convertida em energia potencial gravitacional ( Epot).
A energia potencial gravitacional é dada por:
Epot = M g h
onde g é a aceleração da gravidade.
Como não há perdas de energia (deslizamento não ocorre e consideramos ausência de atrito resistente), a energia cinética inicial é igual à energia potencial final:
34 M v^2 = M g h

Passo 4

Agora, podemos resolver a equação para encontrar a altura h:
34 M v^2 = M g h
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por M:
34 v^2 = g h
Isolando h:
h = 34 v^2g

Resposta

A altura máxima que o centro da roda sobe no plano inclinado é:
h = 34 cdot v^2g

Exercícios relacionados