Uma roda cilíndrica homogênea, de raio e massa , rola sem deslizar por um plano horizontal, deslocando-se com velocidade , e sobe sobre um plano inclinado de inclinação , continuando a rolar sem deslizamento (Fig. 9). Até que altura o centro da roda subirá sobre o plano inclinado? Se precisar, use o fato de que o momento de inércia de uma roda homogênea em relação ao seu centro de massa é igual a .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda cilíndrica homogênea com raio e massa que está rolando sem deslizar em um plano horizontal com velocidade . Em seguida, ela começa a subir por um plano inclinado com ângulo e continua rolando sem deslizar. Precisamos descobrir até que altura o centro da roda sobe no plano inclinado.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e energia potencial gravitacional. Precisaremos também considerar a condição de rolamento sem deslize, que relaciona a velocidade linear e a angular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as energias envolvidas quando a roda está rolando no plano horizontal. A energia cinética total ( ) da roda é a soma da energia cinética translacional e da energia cinética rotacional.
A energia cinética translacional é dada por:
A energia cinética rotacional, usando o momento de inércia fornecido ( ), é:
Como a roda rola sem deslizar, a velocidade angular está relacionada com a velocidade linear por:
Substituindo na expressão de :
Então, a energia cinética total é:

Passo 3

Quando a roda sobe pelo plano inclinado até a altura , sua energia cinética diminui e é convertida em energia potencial gravitacional ( ).
A energia potencial gravitacional é dada por:
onde é a aceleração da gravidade.
Como não há perdas de energia (deslizamento não ocorre e consideramos ausência de atrito resistente), a energia cinética inicial é igual à energia potencial final:

Passo 4

Agora, podemos resolver a equação para encontrar a altura :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Isolando :

Resposta

A altura máxima que o centro da roda sobe no plano inclinado é:

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