[Movimento uniformemente variado] Deduza a relação entre as velocidades e deslocamentos para um movimento uniformemente variado numa trajetória retilínea. Esta relação para a qual o tempo de viagem entre dois pontos não aparece explicitamente é conhecida como

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre Movimento Uniformemente Variado (MUV) numa trajetória retilínea. A ideia é deduzir uma relação entre as velocidades e os deslocamentos sem precisar usar o tempo diretamente. Para isso, vamos precisar das equações básicas do MUV e entender como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações fundamentais do MUV. Elas são:
  1. Equação da velocidade em função do tempo:
    Aqui, é a velocidade final, é a velocidade inicial, é a aceleração e é o tempo.
  2. Equação do deslocamento em função do tempo:
    Onde é o deslocamento.

Passo 3

O problema pede para relacionar velocidades e deslocamentos sem envolver o tempo. Para isso, vamos eliminar o das equações. Vamos resolver a primeira equação para o tempo :

Passo 4

Agora, vamos substituir esse valor de na segunda equação do deslocamento:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos:
Simplificando mais:

Passo 6

Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar as frações:
Expandindo o quadrado:

Passo 7

Agora, somamos os termos semelhantes:
Rearranjando para deixar a equação mais familiar:

Resposta

A relação entre as velocidades e os deslocamentos para um movimento uniformemente variado numa trajetória retilínea é conhecida como equação de Torricelli, e é dada por:

Exercícios relacionados

[Movimento uniformemente variado] Estima-se que um automóvel de passeio com freios em boas condições circulando a uma velocidade de demore cerca de 11 s para conseguir parar totalmente sem perder o controle ou derrapar na pista. Determine a distância que é percorrida durante este processo de frenagem, supondo que o movimento seja uniformemente variado. De quanto esta distância percorrida é aumentada se o motorista inicialmente a demorar para tomar a decisão de pisar no freio? Este tempo é conhecido como tempo de resposta, que leva em conta cerca de 0,2 s de resposta ao estímulo visual de resposta mecânica para movimentar o pé e acionar completamente o pedal do freio, e determina a chamada distância de segurança que se deve tomar ao dirigir em rodovias.
Uma partícula se move obedecendo à seguinte equação horária para a velocidade instantânea:
onde é o tempo e representam constantes físicas independentes do tempo.

Pede-se:

a) Com o auxílio da análise dimensional, determine as unidades das constantes no sistema internacional de unidades (SI).
b) Determine a equação horária para a aceleração deste sistema. Mostre que as unidades para a aceleração são como esperado para as unidades físicas determinadas para as constantes .
c) Determine a equação horária para a posição deste sistema. Mostre que as unidades para a posição são como o esperado para o sistema de unidades escolhido.
d) Faça gráficos (utilizando o papel milimetrado ou com a ajuda de um software computacional) para as três grandezas do movimento: posição, velocidade e aceleração, em função do tempo para coeficientes com os seguintes valores numéricos
quando escritos no SI e para instantes contidos num intervalo de tempo entre e .
[Movimento uniformemente variado] Mostre que para o movimento uniformemente variado (ou seja, para um movimento que tem uma aceleração constante), a velocidade média num dado trecho é igual à média das velocidades instantâneas observadas no início e no fim deste mesmo trecho.
[Movimento uniformemente variado] Partindo da equação horária para a velocidade variando linearmente com o tempo, deduza a equação horária para a posição no movimento uniformemente variado, tomada a partir da área sob o gráfico calculada entre 2 instantes de tempo quaisquer.