Utilizando as propriedades de limite, calcule: lim (x, y) (0,0) sin ^2(x y)(x y)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcularmos:
lim (x, y) (0,0) sin ^2(x y)(x y)^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos limites e lembrar de uma fórmula trigonométrica importante que nos ajuda quando temos seno dividindo por seu argumento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observe que temos sin^2(xy) no numerador e (xy)^2 no denominador. Isso pode ser reescrito como:
(sin(xy)xy)^2
Isso é útil porque sabemos que existe um limite famoso que diz:
limz to 0 sin(z)z = 1

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade ao nosso caso. Aqui, z corresponde a xy. Então, quando (x, y) (0, 0), também temos que xy 0. Portanto:
lim(x, y) (0,0) sin(xy)xy = 1

Passo 4

Agora, voltando à nossa expressão original, que estava ao quadrado:
(sin(xy)xy)^2
Sabemos que o limite do quadrado de uma função é o quadrado do limite da função. Então:
(lim(x, y) (0,0) sin(xy)xy)^2 = 1^2 = 1

Resposta

O limite é 1.

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