Utilizando as propriedades de limite, calcule: lim (x, y) (0,1) e^x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de quando o ponto se aproxima de . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites multivariáveis, especificamente as propriedades dos limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites de produtos de funções e como analisar cada variável separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que estamos lidando: lim(x, y) to (0, 1) e^x y = ( lim(x, y) to (0, 1) e^x ) times ( lim(x, y) to (0, 1) y ) . Sabemos que o limite de um produto de funções é igual ao produto dos limites, desde que esses limites existam. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular separadamente cada limite. Primeiro, considere limx to 0 e^x = e^0 = 1 . Aqui, a variável não está presente na expressão , então o limite depende apenas de se aproximando de 0:

Passo 4

Agora, vamos calcular limy to 1 y = 1 . Nesse caso, a variável não influencia , então o limite é simplesmente o valor para o qual está se aproximando:

Passo 5

Agora que temos os dois limites, podemos multiplicá-los:
( lim(x, y) to (0, 1) e^x ) times ( lim(x, y) to (0, 1) y ) = 1 times 1 = 1

Resposta

O limite é igual a .

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