Se y1 e y2 são soluções particulares da equação de Riccati, mostre que
y-y1y-y2=C e^integral P(x)(y2-y1) d x
onde C é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a equação de Riccati, que é um tipo de equação diferencial não linear de primeira ordem. Aqui, temos duas soluções particulares dessa equação, chamadas e . O que a gente precisa mostrar é que a razão é igual a uma constante multiplicada por uma exponencial que envolve uma integral. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais, especialmente sobre como manipular soluções de equações de Riccati.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de Riccati:
dydx = P(x)y^2 + Q(x)y + R(x)
Aqui, dy1dx = P(x)y1^2 + Q(x)y1 + R(x) , dy2dx = P(x)y2^2 + Q(x)y2 + R(x) e são funções conhecidas de . Sabemos que e são soluções particulares dessa equação, ou seja, elas satisfazem:

Passo 3

Vamos considerar uma nova solução ddx( y - y1y - y2 ) da equação de Riccati e definir a razão . Nosso objetivo é encontrar uma relação para essa razão. Para isso, vamos derivar essa expressão em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos:
ddx( y - y1y - y2 ) = (y' - y1') (y - y2) - (y - y1)(y' - y2')(y - y2)^2

Passo 5

Sabemos que y' = P(x)y^2 + Q(x)y + R(x) , y1' = P(x)y1^2 + Q(x)y1 + R(x) e y2' = P(x)y2^2 + Q(x)y2 + R(x) satisfazem a equação de Riccati, então podemos substituir , e pelas expressões da equação:

Passo 6

Substituindo essas expressões na derivada que calculamos:
ddx( y - y1y - y2 ) = (P(x)y^2 + Q(x)y + R(x) - P(x)y1^2 - Q(x)y1 - R(x))(y - y2)(y - y2)^2
- (y - y1)(P(x)y^2 + Q(x)y + R(x) - P(x)y2^2 - Q(x)y2 - R(x))(y - y2)^2

Passo 7

Simplificando as expressões, percebemos que muitos termos se cancelam:
= P(x)(y^2 - y1^2)(y - y2) + Q(x)(y - y1)(y - y2)(y - y2)^2
- P(x)(y^2 - y2^2)(y - y1) + Q(x)(y - y2)(y - y1)(y - y2)^2

Passo 8

Fatorando = P(x)(y + y1)(y - y2) - P(x)(y + y2)(y - y1)(y - y2)^2 e = P(x)(y - y1)(y2 - y1)(y - y2)^2 e simplificando ainda mais:

Passo 9

Portanto, a derivada da razão é:
ddx( y - y1y - y2 ) = P(x)(y2 - y1)y - y1y - y2

Passo 10

Podemos reescrever essa equação como:
ddx( y - y1y - y2 ) = P(x)(y2 - y1)( y - y1y - y2 )
Isso é uma equação diferencial linear para a razão .

Passo 11

Vamos chamar dudx = P(x)(y2 - y1)u . Assim, temos:

Passo 12

Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis e integrar:
duu = P(x)(y2 - y1) dx
Integrando ambos os lados:
ln|u| = integral P(x)(y2 - y1) dx + C

Passo 13

Exponenciando ambos os lados para resolver para u = C e^integral P(x)(y2 - y1) dx :

Resposta

Portanto, mostramos que:
y - y1y - y2 = C e^integral P(x)(y2 - y1) dx
onde é uma constante.

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