Se
e
são soluções particulares da equação de Riccati, mostre que
onde
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a equação de Riccati, que é um tipo de equação diferencial não linear de primeira ordem. Aqui, temos duas soluções particulares dessa equação, chamadas
e
. O que a gente precisa mostrar é que a razão
é igual a uma constante
multiplicada por uma exponencial que envolve uma integral. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais, especialmente sobre como manipular soluções de equações de Riccati.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de Riccati:
Aqui,
,
e
são funções conhecidas de
. Sabemos que
e
são soluções particulares dessa equação, ou seja, elas satisfazem:
Passo 3
Vamos considerar uma nova solução
da equação de Riccati e definir a razão
. Nosso objetivo é encontrar uma relação para essa razão. Para isso, vamos derivar essa expressão em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos:
Passo 5
Sabemos que
,
e
satisfazem a equação de Riccati, então podemos substituir
,
e
pelas expressões da equação:
Passo 6
Substituindo essas expressões na derivada que calculamos:
Passo 7
Simplificando as expressões, percebemos que muitos termos se cancelam:
Passo 8
Fatorando
e
e simplificando ainda mais:
Passo 9
Portanto, a derivada da razão é:
Passo 10
Podemos reescrever essa equação como:
Isso é uma equação diferencial linear para a razão
.
Passo 11
Vamos chamar
. Assim, temos:
Passo 12
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Passo 13
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
onde
é uma constante.