Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que não é exata. Nosso objetivo é encontrar um fator integrante para multiplicar essa equação e torná-la exata. Depois disso, a gente resolve a equação exata resultante. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata, o que é um fator integrante e como aplicá-los na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar por que essa equação não é exata. A equação que temos é:
Uma equação diferencial da forma é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante que vai multiplicar nossa equação e torná-la exata. Geralmente, tentamos encontrar um fator que depende apenas de ou apenas de . Vamos supor que o fator integrante depende apenas de .
A condição para tornar a equação exata é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Isso simplifica para:
Essa equação não depende apenas de , então nossa suposição de que depende apenas de está errada. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de .
Para , a condição fica:
Substituindo:
Isso também não simplifica facilmente, indicando que talvez o fator integrante não dependa apenas de ou . Entretanto, para este caso específico, podemos tentar um fator integrante geral.
Após algumas tentativas, descobrimos que o fator integrante é:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante que encontramos:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 5

Com a equação exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Resolvendo para :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Fazendo a substituição , :
Simplificando e integrando, encontramos que é uma constante, que podemos considerar como zero.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Sabendo que , calcule:
(a) .
(b) .
Sejam e vetores, com ângulo entre si medindo e tais que . Determine a área do triângulo que tem os vetores e como lados adjacentes.
Seja . Determine o vetor , tal que , e que tem a mesma direção e o sentido contrário de .