Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que não é exata. Nosso objetivo é encontrar um fator integrante para multiplicar essa equação e torná-la exata. Depois disso, a gente resolve a equação exata resultante. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata, o que é um fator integrante e como aplicá-los na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar por que essa equação não é exata. A equação que temos é:
Uma equação diferencial da forma
é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante que vai multiplicar nossa equação e torná-la exata. Geralmente, tentamos encontrar um fator que depende apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
.
A condição para
tornar a equação exata é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Isso simplifica para:
Essa equação não depende apenas de
, então nossa suposição de que
depende apenas de
está errada. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
.
Para
, a condição fica:
Substituindo:
Isso também não simplifica facilmente, indicando que talvez o fator integrante não dependa apenas de
ou
. Entretanto, para este caso específico, podemos tentar um fator integrante geral.
Após algumas tentativas, descobrimos que o fator integrante é:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante que encontramos:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 5
Com a equação exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Fazendo a substituição
,
:
Simplificando e integrando, encontramos que
é uma constante, que podemos considerar como zero.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Sabendo que
, calcule:
(a) .
(b) .
(a)
(b)
Sejam
e
vetores, com ângulo entre si medindo
e tais que
. Determine a área do triângulo que tem os vetores
e
como lados adjacentes.
Seja
. Determine o vetor
, tal que
, e que tem a mesma direção e o sentido contrário de
.