Resolva o PVI
y'' + 2y' - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve encontrar as raízes da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação geral para uma equação diferencial homogênea de segunda ordem é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo , e :
Então, as raízes são e .

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . Primeiro, aplicamos :

Passo 6

Em seguida, derivamos para encontrar :
Aplicamos a condição :
Como , substituímos:
Sabendo que :
E, portanto, .

Resposta

A solução do PVI é:

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