Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que envolve encontrar as raízes da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação geral para uma equação diferencial homogênea de segunda ordem
é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo
,
e
:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. Primeiro, aplicamos
:
Passo 6
Em seguida, derivamos
para encontrar
:
Aplicamos a condição
:
Como
, substituímos:
Sabendo que
:
E, portanto,
.
Resposta
A solução do PVI é: