Multiplicando por fator da integração mu(x, y) transforme as equações diferenciais às exatas e resolva (x^2 + x*y) dy + (y - y^2) dx = 0, mu(x, y) = 1/(x^2 * y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a equação diferencial em uma equação exata, utilizando o fator de integração . Depois disso, temos que resolver a equação exata encontrada. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como aplicar um fator de integração.

Passo 2

Primeiro, uma equação diferencial exata é da forma , onde existe uma função tal que . Isso significa que as derivadas parciais de satisfazem e . Para a equação ser exata, deve valer .

Passo 3

No nosso caso, a equação inicial é . Podemos reescrever isso como , onde:
Vamos verificar se a equação é exata:
Como , a equação não é exata. Por isso, precisamos usar o fator de integração para torná-la exata.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator de integração:
Substituindo :
Simplificando as frações:
Vamos simplificar mais:

Passo 5

Agora, vamos verificar se a nova equação é exata. Definimos:
Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata agora.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece na integração.

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a com :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Substituindo na expressão de :
Como estamos resolvendo a equação , podemos escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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