Multiplicando por fator da integração
transforme as equações diferenciais às exatas e resolva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a equação diferencial
em uma equação exata, utilizando o fator de integração
. Depois disso, temos que resolver a equação exata encontrada. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como aplicar um fator de integração.
Passo 2
Primeiro, uma equação diferencial exata é da forma
, onde existe uma função
tal que
. Isso significa que as derivadas parciais de
satisfazem
e
. Para a equação ser exata, deve valer
.
Passo 3
No nosso caso, a equação inicial é
. Podemos reescrever isso como
, onde:
Vamos verificar se a equação é exata:
Como
, a equação não é exata. Por isso, precisamos usar o fator de integração
para torná-la exata.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator de integração:
Substituindo
:
Simplificando as frações:
Vamos simplificar mais:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata. Definimos:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata agora.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
com
:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Como estamos resolvendo a equação
, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.