Que múltiplo da constante de tempo tau é o tempo necessário para que um capacitor inicialmente descarregado seja carregado com 90,0 % da carga final em um circuito R C em série?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um capacitor que começa descarregado e queremos saber quanto tempo ele leva para ser carregado até 90,0 % da carga final em um circuito RC (resistor-capacitor) em série. Para resolver isso, vamos usar a constante de tempo tau, que é fundamental nos circuitos RC e nos ajuda a determinar o comportamento do carregamento ou descarregamento do capacitor.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula que descreve a carga Q(t) em um capacitor ao longo do tempo em um circuito RC:
Q(t) = Qfinal (1 - e^-ttau)
Aqui:
  • Q(t) é a carga no capacitor no tempo t.
  • Qfinal é a carga máxima que o capacitor alcança após um tempo muito longo.
  • e é a base do logaritmo natural.
  • tau é a constante de tempo do circuito, dada por tau = R cdot C, onde R é a resistência e C a capacitância.

Passo 3

Queremos que a carga no capacitor seja 90,0 % da carga final, ou seja:
Q(t) = 0,90 cdot Qfinal
Vamos substituir isso na fórmula:
0,90 cdot Qfinal = Qfinal (1 - e^-ttau)

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por Qfinal:
0,90 = 1 - e^-ttau
Agora, isolamos a parte exponencial:
e^-ttau = 1 - 0,90
e^-ttau = 0,10

Passo 5

Para resolver para t, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
ln(e^-ttau) = ln(0,10)
Usando a propriedade dos logaritmos ln(e^x) = x:
-ttau = ln(0,10)

Passo 6

Agora, isolamos t multiplicando ambos os lados por -tau:
t = -tau cdot ln(0,10)
Sabemos que ln(0,10) = -ln(10), então:
t = tau cdot ln(10)

Resposta

O tempo necessário é igual a ln(10) vezes a constante de tempo tau. Portanto,
t = ln(10) cdot tau approx 2,3026 , tau

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