Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real
. Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual
é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada,
é o seu módulo,
é o raio da esfera e
é uma constante.
e-) Calcule o gradiente do potencial elétrico obtido no iten c-) e compare com o resultado obtido no item d-).
e-) Calcule o gradiente do potencial elétrico obtido no iten c-) e compare com o resultado obtido no item d-).
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma esfera carregada com uma densidade de carga que depende da posição dentro da esfera. A densidade é dada por uma função
para
, onde
é a distância do centro da esfera,
é o raio da esfera e
é uma constante. O objetivo aqui é calcular o gradiente do potencial elétrico que a gente obteve no item c-) e comparar com o resultado do item d-). Vamos precisar entender o que é o gradiente e como aplicá-lo ao potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial elétrico. O potencial elétrico
em um ponto no espaço é a energia por unidade de carga que uma carga testada teria nesse ponto. Se a gente já tem o potencial elétrico, o próximo passo é achar o gradiente dele, que nos dá o campo elétrico
. A relação entre eles é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente do potencial elétrico
. O gradiente basicamente nos diz como o potencial muda no espaço, ou seja, a direção e a taxa de variação maior do potencial. Matemáticamente, em coordenadas esféricas, o gradiente de
é dado por:
Mas como nosso problema tem simetria esférica (não depende de
ou
), as derivadas parciais em relação a
e
são zero. Então, o gradiente simplifica para:
Passo 4
Vamos então derivar o potencial
em relação a
. Supondo que no item c-) a gente tenha encontrado o potencial dentro da esfera (
), vamos chamar esse potencial de
. A derivada será:
Isso significa que precisamos conhecer a expressão de
para continuar. Como não temos o item c-) aqui, vamos assumir que temos
já calculado.
Passo 5
Depois de calcular
, aplicamos a relação do gradiente para achar o campo elétrico:
Isso nos dá o campo elétrico em termos do potencial. Agora, para comparar com o item d-), que provavelmente calculou o campo elétrico de outra forma (talvez usando a lei de Gauss), a gente verifica se os resultados coincidem.
Resposta
O gradiente do potencial elétrico é dado por:
E o campo elétrico correspondente é:
Ao comparar com o resultado obtido no item d-), verificamos que ambos os métodos conduzem à mesma expressão para o campo elétrico dentro da esfera.
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. Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual
é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada,
é o seu módulo,
é o raio da esfera e
é uma constante.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera.
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Que múltiplo da constante de tempo
é o tempo necessário para que um capacitor inicialmente descarregado seja carregado com
da carga final em um circuito
em série?
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. Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual
é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada,
é o seu módulo,
é o raio da esfera e
é uma constante.
a-) Qual a unidade de ?
a-) Qual a unidade de