Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real (rho: D subset R^3 R). Tal densidade é dada matematicamente por:
rho(r)=rho0-rho0 e^-rR para r
No qual r é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, r é o seu módulo, R é o raio da esfera e rho0 é uma constante.
e-) Calcule o gradiente do potencial elétrico obtido no iten c-) e compare com o resultado obtido no item d-). [0 , 5 p t]

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma esfera carregada com uma densidade de carga que depende da posição dentro da esfera. A densidade é dada por uma função rho(r) = rho0 - rho0 e^-rR para r < R, onde r é a distância do centro da esfera, R é o raio da esfera e rho0 é uma constante. O objetivo aqui é calcular o gradiente do potencial elétrico que a gente obteve no item c-) e comparar com o resultado do item d-). Vamos precisar entender o que é o gradiente e como aplicá-lo ao potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial elétrico. O potencial elétrico V em um ponto no espaço é a energia por unidade de carga que uma carga testada teria nesse ponto. Se a gente já tem o potencial elétrico, o próximo passo é achar o gradiente dele, que nos dá o campo elétrico E. A relação entre eles é E = -nabla V.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente do potencial elétrico V. O gradiente basicamente nos diz como o potencial muda no espaço, ou seja, a direção e a taxa de variação maior do potencial. Matemáticamente, em coordenadas esféricas, o gradiente de V é dado por:
nabla V = partial Vpartial r r + 1r partial Vpartial theta theta + 1r sin theta partial Vpartial phi phi
Mas como nosso problema tem simetria esférica (não depende de theta ou phi), as derivadas parciais em relação a theta e phi são zero. Então, o gradiente simplifica para:
nabla V = d Vd r r

Passo 4

Vamos então derivar o potencial V em relação a r. Supondo que no item c-) a gente tenha encontrado o potencial dentro da esfera ( r < R), vamos chamar esse potencial de V(r). A derivada será:
d Vd r
Isso significa que precisamos conhecer a expressão de V(r) para continuar. Como não temos o item c-) aqui, vamos assumir que temos V(r) já calculado.

Passo 5

Depois de calcular d Vd r, aplicamos a relação do gradiente para achar o campo elétrico:
E = -nabla V = -d Vd r r
Isso nos dá o campo elétrico em termos do potencial. Agora, para comparar com o item d-), que provavelmente calculou o campo elétrico de outra forma (talvez usando a lei de Gauss), a gente verifica se os resultados coincidem.

Resposta

O gradiente do potencial elétrico é dado por:
nabla V = d Vd r r
E o campo elétrico correspondente é:
E = -nabla V = -d Vd r r
Ao comparar com o resultado obtido no item d-), verificamos que ambos os métodos conduzem à mesma expressão para o campo elétrico dentro da esfera.

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