Questão 7 - 2,5 pts. Uma esfera é carregada com uma densidade volumétricas de cargas conhecida. Essa densidade é, obviamente, um campo escalar, ou seja, é uma função com domínio no espaço e contradomínio real . Tal densidade é dada matematicamente por:
No qual é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, é o seu módulo, é o raio da esfera e é uma constante.
e-) Calcule o gradiente do potencial elétrico obtido no iten c-) e compare com o resultado obtido no item d-).

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma esfera carregada com uma densidade de carga que depende da posição dentro da esfera. A densidade é dada por uma função para , onde é a distância do centro da esfera, é o raio da esfera e é uma constante. O objetivo aqui é calcular o gradiente do potencial elétrico que a gente obteve no item c-) e comparar com o resultado do item d-). Vamos precisar entender o que é o gradiente e como aplicá-lo ao potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto no espaço é a energia por unidade de carga que uma carga testada teria nesse ponto. Se a gente já tem o potencial elétrico, o próximo passo é achar o gradiente dele, que nos dá o campo elétrico . A relação entre eles é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente do potencial elétrico . O gradiente basicamente nos diz como o potencial muda no espaço, ou seja, a direção e a taxa de variação maior do potencial. Matemáticamente, em coordenadas esféricas, o gradiente de é dado por:
Mas como nosso problema tem simetria esférica (não depende de ou ), as derivadas parciais em relação a e são zero. Então, o gradiente simplifica para:

Passo 4

Vamos então derivar o potencial em relação a . Supondo que no item c-) a gente tenha encontrado o potencial dentro da esfera ( ), vamos chamar esse potencial de . A derivada será:
Isso significa que precisamos conhecer a expressão de para continuar. Como não temos o item c-) aqui, vamos assumir que temos já calculado.

Passo 5

Depois de calcular , aplicamos a relação do gradiente para achar o campo elétrico:
Isso nos dá o campo elétrico em termos do potencial. Agora, para comparar com o item d-), que provavelmente calculou o campo elétrico de outra forma (talvez usando a lei de Gauss), a gente verifica se os resultados coincidem.

Resposta

O gradiente do potencial elétrico é dado por:
E o campo elétrico correspondente é:
Ao comparar com o resultado obtido no item d-), verificamos que ambos os métodos conduzem à mesma expressão para o campo elétrico dentro da esfera.

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No qual é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, é o seu módulo, é o raio da esfera e é uma constante.
d-) Utilizando a lei de Gauss, determine a equação do campo elétrico dentro e fora da esfera.
Em relação aos modelos atômicos: Descreva os modelos de Dalton, de Thompson e de Rutherford para os átomos ressaltando a diferença entre eles.
Que múltiplo da constante de tempo é o tempo necessário para que um capacitor inicialmente descarregado seja carregado com da carga final em um circuito em série?
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No qual é o vetor que localiza o ponto onde a densidade está sendo calculada, é o seu módulo, é o raio da esfera e é uma constante.
a-) Qual a unidade de ?