(n) lim x +infty(raizx^2-5 x+6-x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso envolve o conteúdo de limites e funções na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem raízes quadradas e como lidar com termos que crescem sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: . Quando tende ao infinito, os termos de menor grau (como e ) se tornam menos significativos em comparação com . Então, a expressão dentro da raiz se comporta basicamente como .

Passo 3

Agora, vamos considerar a raiz quadrada de , que é para positivo. Porém, temos os outros termos na raiz, então precisamos refinar essa aproximação para captar como esses termos afetam o resultado.

Passo 4

Para lidar com isso, vamos reescrever a expressão original de forma a simplificar a diferença:
raizx^2 - 5x + 6 - x
Uma técnica útil aqui é multiplicar e dividir pelo conjugado da expressão. O conjugado de (raizx^2 - 5x + 6 - x)(raizx^2 - 5x + 6 + x)raizx^2 - 5x + 6 + x é . Então, fazemos:

Passo 5

Multiplicando o numerador:
(raizx^2 - 5x + 6)^2 - x^2 = (x^2 - 5x + 6) - x^2 = -5x + 6
Então, a expressão fica:
-5x + 6raizx^2 - 5x + 6 + x

Passo 6

Agora, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por -5 + 6xraiz1 - 5x + 6x^2 + 1 para simplificar:
À medida que tende ao infinito, os termos , e vão para zero.

Passo 7

Simplificando com -5 + 0raiz1 - 0 + 0 + 1 = -51 + 1 = -52 tendendo ao infinito:

Resposta

O limite é .

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