(n)
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Isso envolve o conteúdo de limites e funções na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem raízes quadradas e como lidar com termos que crescem sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
. Quando
tende ao infinito, os termos de menor grau (como
e
) se tornam menos significativos em comparação com
. Então, a expressão dentro da raiz se comporta basicamente como
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a raiz quadrada de
, que é
para
positivo. Porém, temos os outros termos na raiz, então precisamos refinar essa aproximação para captar como esses termos afetam o resultado.
Passo 4
Para lidar com isso, vamos reescrever a expressão original de forma a simplificar a diferença:
Uma técnica útil aqui é multiplicar e dividir pelo conjugado da expressão. O conjugado de
é
. Então, fazemos:
Passo 5
Multiplicando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
para simplificar:
À medida que
tende ao infinito, os termos
,
e
vão para zero.
Passo 7
Simplificando com
tendendo ao infinito:
Resposta
O limite é
.
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Prove que toda coleção de intervalos não degenerados dois a d é enumerável.
Se
é aberto (respectivamente, fechado) e
é uma cisão, prove que
e
são abertos (respectivamente, fechados).
(v)
.
(g)
.