Verifique se os conjuntus dados são LI ou LD. Se for LD, expresse um dos elementos como combinaçäo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um conjunto de polinômios:
Queremos verificar se esses polinômios são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Se forem LD, precisamos expressar um dos polinômios como uma combinação linear dos outros. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se conseguirmos encontrar uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então o conjunto é LD.
No contexto dos polinômios, estamos tratando cada polinômio como um vetor. Então, vamos supor que existe uma combinação linear dos nossos polinômios que resulta no polinômio zero:
Nosso objetivo é encontrar valores para
,
e
que satisfaçam essa equação.
Passo 3
Vamos expandir a equação:
Distribuindo os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa equação seja válida para todo valor de
, os coeficientes de
e
devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o segundo membro do sistema:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora, podemos escolher um valor para
para encontrar os valores de
e
. Vamos supor que
:
Isso significa que:
Passo 7
Foi encontrado uma combinação não trivial (
,
,
) que resulta no polinômio zero. Portanto, os polinômios são linearmente dependentes.
Agora, vamos expressar um dos polinômios como uma combinação dos outros. Por exemplo, vamos isolar
:
Resposta
Os polinômios são linearmente dependentes. Podemos expressar
como combinação linear de
e
: