Verifique se os conjuntus dados são LI ou LD. Se for LD, expresse um dos elementos como combinaçäo
[ccc1 & 0 & 2 0 & 1 & -1],[ccc2 & 1 & 1 1 & -2 & 3],[ccc1 & 2 & -1 2 & 4 & 3] subset M2 x 2(R)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um conjunto de três matrizes:
[ccc 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 ], [ccc 2 & 1 & 1 1 & -2 & 3 ], [ccc 1 & 2 & -1 2 & 4 & 3 ]
E queremos verificar se essas matrizes são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD) no espaço das matrizes . Se forem LD, devemos expressar uma das matrizes como uma combinação linear das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou matrizes) ser linearmente independente. Um conjunto é LI se a única combinação linear que resulta no vetor (ou matriz) zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, é LD, e pelo menos uma matriz pode ser escrita como combinação das outras.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos considerar uma combinação linear das três matrizes igual a uma matriz nula:
c1 cdot A1 + c2 cdot A2 + c3 cdot A3 = 0
Onde são as matrizes dadas e são escalares. Se essa equação tiver uma solução não trivial (ou seja, pelo menos um dos diferente de zero), então as matrizes são LD.

Passo 4

Vamos montar as equações correspondentes aos elementos das matrizes:
c1 cdot [ccc 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 ] + c2 cdot [ccc 2 & 1 & 1 1 & -2 & 3 ] + c3 cdot [ccc 1 & 2 & -1 2 & 4 & 3 ] = [ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ]
Isso resulta em um sistema de equações:
c1 + 2c2 + c3 = 0 &(1) 0c1 + c2 + 2c3 = 0 &(2) 2c1 + c2 - c3 = 0 &(3) 0c1 + (-2)c2 + 2c3 = 0 &(4)

Passo 5

Agora, resolvemos esse sistema para encontrar os coeficientes c2 + 2c3 = 0 Rightarrow c2 = -2c3 (5) .
Vamos simplificar o sistema:
Da equação (2):
-2c2 + 2c3 = 0
Da equação (4):
-2(-2c3) + 2c3 = 0 4c3 + 2c3 = 0 6c3 = 0 c3 = 0
Substituindo c2 = -2 cdot 0 = 0 da equação (5):
c1 + 2 cdot 0 + 0 = 0 Rightarrow c1 = 0
Então, . Substituindo de volta na equação (5):
Agora, usando e na equação (1):

Passo 6

Encontramos que a única solução é . Isso significa que a combinação linear das matrizes resulta na matriz zero apenas quando todos os coeficientes são zero, ou seja, o conjunto de matrizes é Linearmente Independente.

Resposta

As matrizes dadas são Linearmente Independentes (LI).

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