Verifique se os conjuntus dados são LI ou LD. Se for LD, expresse um dos elementos como combinaçäo
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um conjunto de três matrizes:
E queremos verificar se essas matrizes são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD) no espaço das matrizes . Se forem LD, devemos expressar uma das matrizes como uma combinação linear das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores (ou matrizes) ser linearmente independente. Um conjunto é LI se a única combinação linear que resulta no vetor (ou matriz) zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, é LD, e pelo menos uma matriz pode ser escrita como combinação das outras.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos considerar uma combinação linear das três matrizes igual a uma matriz nula:
Onde são as matrizes dadas e são escalares. Se essa equação tiver uma solução não trivial (ou seja, pelo menos um dos diferente de zero), então as matrizes são LD.
Passo 4
Vamos montar as equações correspondentes aos elementos das matrizes:
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 5
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar os coeficientes c2 + 2c3 = 0 Rightarrow c2 = -2c3 (5) .
Vamos simplificar o sistema:
Da equação (2):
-2c2 + 2c3 = 0
Da equação (4):
-2(-2c3) + 2c3 = 0 4c3 + 2c3 = 0 6c3 = 0 c3 = 0
Substituindo c2 = -2 cdot 0 = 0 da equação (5):
c1 + 2 cdot 0 + 0 = 0 Rightarrow c1 = 0
Então, . Substituindo de volta na equação (5):
Agora, usando e na equação (1):
Passo 6
Encontramos que a única solução é . Isso significa que a combinação linear das matrizes resulta na matriz zero apenas quando todos os coeficientes são zero, ou seja, o conjunto de matrizes é Linearmente Independente.
Resposta
As matrizes dadas são Linearmente Independentes (LI).