Seja a função definida por:
(e) Existe ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Temos uma função definida por partes, , e precisamos determinar se o limite de quando se aproxima de existe. Se existir, devemos encontrar o valor desse limite; caso contrário, explicar por que não existe. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limites laterais na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função quando se aproxima de um valor específico. O limite existe se os limites pelas direitas e pelas esquerdas de forem iguais. Ou seja:
Se esses dois limites laterais forem iguais, então o limite geral existe e é igual a esse valor comum.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da função que se aplicam quando está próximo de . Observando a definição de :
Para próximo de :
  • Pela esquerda de ( ): A função está definida por .
  • Pela direita de ( ): A função está definida por .

Passo 4

Vamos calcular o limite pela esquerda de :
Substituindo por :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela direita de :
Como é constante e igual a para , o limite à direita também é .

Passo 6

Comparando os limites laterais:
Como ambos os limites são iguais, o limite geral existe.

Resposta

Sim, o limite de quando se aproxima de existe e é igual a .

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(b) é contínua em ? Justifique!
. Todo gradiente é um campo irrotacional. O anulamento de seu rotacional é uma identidade matemática, independentemente de qualquer física. Eletromagnetismo: Comparando a identidade matemática acima, , com a propriedade do campo elétrico coulombiano , a saber, , então podemos definir um potencial escalar elétrico , tal que . Equivalentemente, desde que , então , ou, ainda, . Esta relação entre e é conhecido como teorema do potencial.