Seja f a função definida por:
f(x)=ccc x+2 & se & x<-2 1 & se & x=-2 -x-2 & se & -20
(e) Existe lim x -1 f(x) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Temos uma função definida por partes, f(x), e precisamos determinar se o limite de f(x) quando x se aproxima de -1 existe. Se existir, devemos encontrar o valor desse limite; caso contrário, explicar por que não existe. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limites laterais na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função quando x se aproxima de um valor específico. O limite limx to a f(x) existe se os limites pelas direitas e pelas esquerdas de a forem iguais. Ou seja:
limx to a^- f(x) = limx to a^+ f(x)
Se esses dois limites laterais forem iguais, então o limite geral existe e é igual a esse valor comum.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da função f(x) que se aplicam quando x está próximo de -1. Observando a definição de f(x):
f(x)=ccc x+2 & se & x<-2 1 & se & x=-2 -x-2 & se & -20
Para x próximo de -1:
  • Pela esquerda de -1 ( x to -1^-): A função está definida por -x - 2.
  • Pela direita de -1 ( x to -1^+): A função está definida por -1.

Passo 4

Vamos calcular o limite pela esquerda de -1:
limx to -1^- f(x) = limx to -1^- (-x - 2)
Substituindo x por -1:
-(-1) - 2 = 1 - 2 = -1
Então, limx to -1^- f(x) = -1.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela direita de -1:
limx to -1^+ f(x) = limx to -1^+ (-1) = -1
Como f(x) é constante e igual a -1 para -1 < x < 0, o limite à direita também é -1.

Passo 6

Comparando os limites laterais:
limx to -1^- f(x) = -1 limx to -1^+ f(x) = -1
Como ambos os limites são iguais, o limite geral existe.

Resposta

Sim, o limite de f(x) quando x se aproxima de -1 existe e é igual a -1.

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