(e) Existe ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Temos uma função definida por partes, , e precisamos determinar se o limite de quando se aproxima de existe. Se existir, devemos encontrar o valor desse limite; caso contrário, explicar por que não existe. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limites laterais na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função quando se aproxima de um valor específico. O limite existe se os limites pelas direitas e pelas esquerdas de forem iguais. Ou seja:
Se esses dois limites laterais forem iguais, então o limite geral existe e é igual a esse valor comum.
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes da função que se aplicam quando está próximo de . Observando a definição de :
Para próximo de :
Pela esquerda de (): A função está definida por .
Pela direita de (): A função está definida por .
Passo 4
Vamos calcular o limite pela esquerda de :
Substituindo por :
Então, .
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite pela direita de :
Como é constante e igual a para , o limite à direita também é .
Passo 6
Comparando os limites laterais:
Como ambos os limites são iguais, o limite geral existe.
Resposta
Sim, o limite de quando se aproxima de existe e é igual a .