Verifique se o
é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo.
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial deve satisfazer uma série de axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, entre outros. Vamos analisar cada um desses axiomas passo a passo usando as operações dadas:
Passo 2
Fechamento sob a adição: Primeiro, precisamos verificar se a soma de dois vetores em
, usando a operação definida, também pertence a
.
Seja
e
dois vetores em
. A soma deles é
. Como
e
são números reais, o vetor resultante também está em
. Portanto, a operação de adição está fechada.
Passo 3
Fechamento sob a multiplicação por escalar: Agora, vamos verificar se a multiplicação de um vetor por um escalar também resulta em um vetor em
.
Para um vetor
e um escalar
, a multiplicação é
. Como
e
são números reais, o vetor resultante está em
. Assim, a multiplicação por escalar está fechada.
Passo 4
Elemento neutro da adição: Devemos identificar se existe um vetor que, quando adicionado a qualquer outro vetor em
, resulta no próprio vetor.
O vetor nulo em
seria
. Vamos verificar:
Portanto, o vetor
é o elemento neutro da adição.
Passo 5
Existência de inversos aditivos: Para cada vetor em
, deve existir um vetor que, quando adicionado, resulta no vetor nulo.
Para um vetor
, o inverso aditivo seria
. Vamos verificar:
Assim, cada vetor possui um inverso aditivo.
Passo 6
Associatividade da adição: A operação de adição deve ser associativa.
Para vetores
,
e
:
Ambos os lados são iguais, então a associatividade se mantém.
Passo 7
Comutatividade da adição: A operação de adição deve ser comutativa.
Para vetores
e
:
Como a adição de números reais é comutativa (
e
), a adição de vetores também é comutativa.
Passo 8
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
Multiplicando um escalar
pela soma de dois vetores:
Por outro lado:
Para que esses sejam iguais, precisamos que
. Isso é verdadeiro para os números reais.
Passo 9
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para escalares
e
e um vetor
:
Observamos que
, pois
a menos que
. Isso viola a distributividade.
Passo 10
Multiplicação associativa por escalares:
Para escalares
e
e um vetor
:
Ambos os lados são iguais, então a multiplicatividade associativa é mantida.
Passo 11
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Existe um escalar
tal que
Portanto, o elemento neutro da multiplicação por escalar está correto.
Resposta
Não,
com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
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e
A nalise cada subconjunto dado abaixo e diga se são ou não um subespaço vetorial do
e de
com as operações usuais. Justifique sus resposta.
Verifique se cada um dos subconjuntos
de
é subespaço vetorial de
?
Verifique se cada um dos subconjuntos
de
é subespaço vetorial de
?