Verifique se o R^2 é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo.
& (x, y)+(z, t)=(x+z, y+t) & k(x, y)=(k x, y)

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto R^2, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial deve satisfazer uma série de axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, entre outros. Vamos analisar cada um desses axiomas passo a passo usando as operações dadas:
& (x, y) + (z, t) = (x + z, y + t) & k(x, y) = (k x, y)

Passo 2

Fechamento sob a adição: Primeiro, precisamos verificar se a soma de dois vetores em R^2, usando a operação definida, também pertence a R^2.
Seja (x, y) e (z, t) dois vetores em R^2. A soma deles é (x + z, y + t). Como x + z e y + t são números reais, o vetor resultante também está em R^2. Portanto, a operação de adição está fechada.

Passo 3

Fechamento sob a multiplicação por escalar: Agora, vamos verificar se a multiplicação de um vetor por um escalar também resulta em um vetor em R^2.
Para um vetor (x, y) e um escalar k in R, a multiplicação é (k x, y). Como k x e y são números reais, o vetor resultante está em R^2. Assim, a multiplicação por escalar está fechada.

Passo 4

Elemento neutro da adição: Devemos identificar se existe um vetor que, quando adicionado a qualquer outro vetor em R^2, resulta no próprio vetor.
O vetor nulo em R^2 seria (0, 0). Vamos verificar:
(x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y)
Portanto, o vetor (0, 0) é o elemento neutro da adição.

Passo 5

Existência de inversos aditivos: Para cada vetor em R^2, deve existir um vetor que, quando adicionado, resulta no vetor nulo.
Para um vetor (x, y), o inverso aditivo seria (-x, -y). Vamos verificar:
(x, y) + (-x, -y) = (x - x, y - y) = (0, 0)
Assim, cada vetor possui um inverso aditivo.

Passo 6

Associatividade da adição: A operação de adição deve ser associativa.
Para vetores (x, y), (z, t) e (u, v):
[(x, y) + (z, t)] + (u, v) = (x + z, y + t) + (u, v) = (x + z + u, y + t + v)
(x, y) + [(z, t) + (u, v)] = (x, y) + (z + u, t + v) = (x + z + u, y + t + v)
Ambos os lados são iguais, então a associatividade se mantém.

Passo 7

Comutatividade da adição: A operação de adição deve ser comutativa.
Para vetores (x, y) e (z, t):
(x, y) + (z, t) = (x + z, y + t)
(z, t) + (x, y) = (z + x, t + y)
Como a adição de números reais é comutativa ( x + z = z + x e y + t = t + y), a adição de vetores também é comutativa.

Passo 8

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
Multiplicando um escalar k pela soma de dois vetores:
k[(x, y) + (z, t)] = k(x + z, y + t) = (k(x + z), y + t)
Por outro lado:
k(x, y) + k(z, t) = (k x, y) + (k z, t) = (k x + k z, y + t)
Para que esses sejam iguais, precisamos que k(x + z) = kx + kz. Isso é verdadeiro para os números reais.

Passo 9

Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para escalares k e m e um vetor (x, y):
(k + m)(x, y) = ((k + m)x, y)
k(x, y) + m(x, y) = (k x, y) + (m x, y) = (k x + m x, y + y) = ((k + m)x, 2y)
Observamos que (k + m)(x, y) neq k(x, y) + m(x, y), pois y neq 2y a menos que y = 0. Isso viola a distributividade.

Passo 10

Multiplicação associativa por escalares:
Para escalares k e m e um vetor (x, y):
k(m(x, y)) = k(mx, y) = (k(mx), y) = (k m x, y)
(k m)(x, y) = (k m x, y)
Ambos os lados são iguais, então a multiplicatividade associativa é mantida.

Passo 11

Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Existe um escalar 1 tal que 1(x, y) = (1x, y) = (x, y)
Portanto, o elemento neutro da multiplicação por escalar está correto.

Resposta

Não, R^2 com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.

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Verifique se cada um dos subconjuntos W de V é subespaço vetorial de V ?
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