Utilize a transformação para determinar o volume da região limitada pela superfície e pelos planos coordenados.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Queremos determinar o volume da região limitada pela superfície e pelos planos coordenados (os planos , , ). Para resolver isso, vamos utilizar a transformação fornecida: , , . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e mudanças de coordenadas para encontrar volumes.

Passo 2

Vamos entender a transformação , , . Essa mudança de variável mapeia o espaço para . Como estamos elevando ao quadrado, , , devem ser não negativos para que , , também sejam não negativos, o que está alinhado com os planos coordenados.

Passo 3

Para calcular o volume usando essa transformação, precisamos determinar o Jacobiano da transformação. O Jacobiano nos ajuda a ajustar a medida de volume ao mudar de coordenadas. Ele é calculado como o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:

Passo 6

Agora, substituímos as variáveis na equação da superfície usando a transformação:

Passo 7

Com essa substituição, a região de integração agora está definida por com . Essa é uma região tetraédrica no espaço .

Passo 8

Configuramos a integral tripla para o volume:

Passo 9

Resolvemos a integral em relação a primeiro:

Passo 10

Agora, integramos com relação a :
Para simplificar, fazemos a substituição , então .

Passo 11

Após a substituição:

Passo 12

Finalmente, integramos com relação a :
Podemos resolver essa integral expandindo e integrando termo a termo:

Resposta

O volume da região limitada pela superfície e pelos planos coordenados é unidades de volume.

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