Utilize a transformação para determinar o volume da região limitada pela superfície e pelos planos coordenados.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Queremos determinar o volume da região limitada pela superfície e pelos planos coordenados (os planos , , ). Para resolver isso, vamos utilizar a transformação fornecida: , , . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e mudanças de coordenadas para encontrar volumes.
Passo 2
Vamos entender a transformação , , . Essa mudança de variável mapeia o espaço para . Como estamos elevando ao quadrado, , , devem ser não negativos para que , , também sejam não negativos, o que está alinhado com os planos coordenados.
Passo 3
Para calcular o volume usando essa transformação, precisamos determinar o Jacobiano da transformação. O Jacobiano nos ajuda a ajustar a medida de volume ao mudar de coordenadas. Ele é calculado como o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
Passo 6
Agora, substituímos as variáveis na equação da superfície usando a transformação:
Passo 7
Com essa substituição, a região de integração agora está definida por com . Essa é uma região tetraédrica no espaço .
Passo 8
Configuramos a integral tripla para o volume:
Passo 9
Resolvemos a integral em relação a primeiro:
Passo 10
Agora, integramos com relação a :
Para simplificar, fazemos a substituição , então .
Passo 11
Após a substituição:
Passo 12
Finalmente, integramos com relação a :
Podemos resolver essa integral expandindo e integrando termo a termo:
Resposta
O volume da região limitada pela superfície e pelos planos coordenados é unidades de volume.