Questão 1.(6 pontos) Calcule as integrais duplas abaixo:
b) integral duplaOmega(y+y^2 cos (x) d A, onde Omega=[0, pi / 2] times[-3,3]

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: calcular a integral dupla da função sobre a região . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais duplas em regiões retangulares, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Como a região integral0^pi2 integral-3^3 ( y + y^2 cos(x) ) dy , dx é um retângulo, podemos integrar primeiro em relação a de a e depois em relação a de a :

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, ou seja, a integral em relação a integral-3^3 ( y + y^2 cos(x) ) dy = integral-3^3 y , dy + cos(x) integral-3^3 y^2 , dy :
Aqui, separei a integral em duas partes para facilitar o cálculo.

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
integral-3^3 y , dy = [ 12 y^2 ]-3^3 = 12 (3)^2 - 12 (-3)^2 = 92 - 92 = 0
Perceba que essa parte da integral resulta em zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral-3^3 y^2 , dy = [ 13 y^3 ]-3^3 = 13 (3)^3 - 13 (-3)^3 = 273 - -273 = 9 + 9 = 18
Essa parte da integral resultou em 18.

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais internas de volta na integral iterada:
integral0^pi2 ( 0 + cos(x) cdot 18 ) dx = 18 integral0^pi2 cos(x) , dx

Passo 7

Finalmente, calculamos a integral restante:
18 integral0^pi2 cos(x) , dx = 18 [ sin(x) ]0^pi2 = 18 (sin(pi2) - sin(0)) = 18 (1 - 0) = 18

Resposta

A integral dupla vale 18.

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