A NASA lança uma aeronave de gravidade reduzida em um vôo elíptico para treinar astronautas em um ambiente de microgravidade. O avião está sendo rastreado por um radar localizado em
. Quando o avião está próximo ao final de sua trajetória, como mostrado, os valores da estação de rastreamento por radar são:
e
. No instante mostrado, determine a força exercida sobre o piloto de 80 kg.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A NASA lançou um avião que voa em uma trajetória elíptica para simular um ambiente de microgravidade para treinar astronautas. O avião está sendo monitorado por um radar na posição
. No ponto específico da trajetória que estamos analisando, temos algumas informações sobre como o avião está se movendo: as taxas de variação da distância
e do ângulo
em relação ao radar, bem como as acelerações correspondentes. Nosso objetivo é descobrir qual força está agindo sobre o piloto que tem uma massa de 80 kg. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica em coordenadas polares, que nos ajudam a relacionar as taxas de variação de posição e aceleração ao movimento do avião.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a aceleração funciona em coordenadas polares. Em vez de usar as coordenadas cartesianas
e
, usamos a distância
do radar e o ângulo
. A aceleração total
de um objeto em coordenadas polares tem duas componentes: radial (
) e angular (
).
A fórmula para a aceleração radial é:
E para a aceleração angular:
Onde:
-
é a velocidade radial, -
é a velocidade angular, -
é a aceleração radial, -
é a aceleração angular.
Passo 3
Vamos calcular cada componente da aceleração usando os valores fornecidos:
Dados:
Primeiro, a aceleração radial:
Mas percebemos que não temos o valor de
. Contudo, podemos reorganizar a equação para termos:
No entanto, como estamos buscando a força sobre o piloto, e assumindo que o único componente de força que precisamos considerar é a resultante das acelerações fornecidas, podemos focar na aceleração total.
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração angular
:
Aqui novamente, precisamos do valor de
, mas como não temos, vamos considerar que a força resultante será baseada nas acelerações fornecidas diretamente.
Passo 5
Vamos calcular a aceleração total
combinando as componentes radial e angular. A magnitude da aceleração total é dada por:
Mas como não temos
, vamos simplificar assumindo que as acelerações radiais e angulares são perpendiculares e combiná-las diretamente:
Novamente, sem
, vamos considerar que a aceleração efetiva ocorre principalmente na direção radial, então usamos:
Passo 6
Com a aceleração radial aproximada, podemos agora calcular a força que atua sobre o piloto usando a segunda lei de Newton:
Onde:
-
é a massa do piloto, -
é a aceleração.
Então:
Resposta
A força exercida sobre o piloto é de aproximadamente
.
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