A NASA lança uma aeronave de gravidade reduzida em um vôo elíptico para treinar astronautas em um ambiente de microgravidade. O avião está sendo rastreado por um radar localizado em . Quando o avião está próximo ao final de sua trajetória, como mostrado, os valores da estação de rastreamento por radar são: e . No instante mostrado, determine a força exercida sobre o piloto de 80 kg.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A NASA lançou um avião que voa em uma trajetória elíptica para simular um ambiente de microgravidade para treinar astronautas. O avião está sendo monitorado por um radar na posição . No ponto específico da trajetória que estamos analisando, temos algumas informações sobre como o avião está se movendo: as taxas de variação da distância e do ângulo em relação ao radar, bem como as acelerações correspondentes. Nosso objetivo é descobrir qual força está agindo sobre o piloto que tem uma massa de 80 kg. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica em coordenadas polares, que nos ajudam a relacionar as taxas de variação de posição e aceleração ao movimento do avião.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a aceleração funciona em coordenadas polares. Em vez de usar as coordenadas cartesianas e , usamos a distância do radar e o ângulo . A aceleração total de um objeto em coordenadas polares tem duas componentes: radial ( ) e angular ( ).
A fórmula para a aceleração radial é:
E para a aceleração angular:
Onde:
  • é a velocidade radial,
  • é a velocidade angular,
  • é a aceleração radial,
  • é a aceleração angular.

Passo 3

Vamos calcular cada componente da aceleração usando os valores fornecidos:
Dados:
Primeiro, a aceleração radial:
Mas percebemos que não temos o valor de . Contudo, podemos reorganizar a equação para termos:
No entanto, como estamos buscando a força sobre o piloto, e assumindo que o único componente de força que precisamos considerar é a resultante das acelerações fornecidas, podemos focar na aceleração total.

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração angular :
Aqui novamente, precisamos do valor de , mas como não temos, vamos considerar que a força resultante será baseada nas acelerações fornecidas diretamente.

Passo 5

Vamos calcular a aceleração total combinando as componentes radial e angular. A magnitude da aceleração total é dada por:
Mas como não temos , vamos simplificar assumindo que as acelerações radiais e angulares são perpendiculares e combiná-las diretamente:
Novamente, sem , vamos considerar que a aceleração efetiva ocorre principalmente na direção radial, então usamos:

Passo 6

Com a aceleração radial aproximada, podemos agora calcular a força que atua sobre o piloto usando a segunda lei de Newton:
Onde:
  • é a massa do piloto,
  • é a aceleração.
Então:

Resposta

A força exercida sobre o piloto é de aproximadamente .

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