A NASA lança uma aeronave de gravidade reduzida em um vôo elíptico para treinar astronautas em um ambiente de microgravidade. O avião está sendo rastreado por um radar localizado em O. Quando o avião está próximo ao final de sua trajetória, como mostrado, os valores da estação de rastreamento por radar são: dotr=120 m / s, dottheta=-0,9 rad / s, ddotr=34,8 m / s^2 e ddottheta=0,0156 rad / s^2. No instante mostrado, determine a força exercida sobre o piloto de 80 kg.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A NASA lançou um avião que voa em uma trajetória elíptica para simular um ambiente de microgravidade para treinar astronautas. O avião está sendo monitorado por um radar na posição . No ponto específico da trajetória que estamos analisando, temos algumas informações sobre como o avião está se movendo: as taxas de variação da distância e do ângulo em relação ao radar, bem como as acelerações correspondentes. Nosso objetivo é descobrir qual força está agindo sobre o piloto que tem uma massa de 80 kg. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica em coordenadas polares, que nos ajudam a relacionar as taxas de variação de posição e aceleração ao movimento do avião.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a aceleração funciona em coordenadas polares. Em vez de usar as coordenadas cartesianas ar = ddotr - r dottheta^2 e atheta = r ddottheta + 2 dotr dottheta , usamos a distância do radar e o ângulo . A aceleração total de um objeto em coordenadas polares tem duas componentes: radial ( ) e angular ( ).
A fórmula para a aceleração radial é:
E para a aceleração angular:
Onde:
  • é a velocidade radial,
  • é a velocidade angular,
  • é a aceleração radial,
  • é a aceleração angular.

Passo 3

Vamos calcular cada componente da aceleração usando os valores fornecidos:
Dados:
dotr = 120 , m/s, dottheta = -0,9 , rad/s, ddotr = 34,8 , m/s^2, ddottheta = 0,0156 , rad/s^2
Primeiro, a aceleração radial:
ar = ddotr - r dottheta^2
Mas percebemos que não temos o valor de r = ddotr - ardottheta^2 . Contudo, podemos reorganizar a equação para termos:
No entanto, como estamos buscando a força sobre o piloto, e assumindo que o único componente de força que precisamos considerar é a resultante das acelerações fornecidas, podemos focar na aceleração total.

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração angular atheta = r ddottheta + 2 dotr dottheta :
Aqui novamente, precisamos do valor de , mas como não temos, vamos considerar que a força resultante será baseada nas acelerações fornecidas diretamente.

Passo 5

Vamos calcular a aceleração total |a| = raizar^2 + atheta^2 combinando as componentes radial e angular. A magnitude da aceleração total é dada por:
|a| = raizddotr^2 + (r ddottheta + 2 dotr dottheta)^2
Mas como não temos |a| approx ddotr , vamos simplificar assumindo que as acelerações radiais e angulares são perpendiculares e combiná-las diretamente:
Novamente, sem , vamos considerar que a aceleração efetiva ocorre principalmente na direção radial, então usamos:

Passo 6

Com a aceleração radial aproximada, podemos agora calcular a força que atua sobre o piloto usando a segunda lei de Newton:
F = m a
Onde:
  • F = m cdot ddotr = 80 , kg times 34,8 , m/s^2 = 2784 , N é a massa do piloto,
  • é a aceleração.
Então:

Resposta

A força exercida sobre o piloto é de aproximadamente .

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